学习像呼吸一样自然-第9章
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在《我星期一做什么》这本书里，我试图解释这种现象：
事情往往是这样的，我们的解释会把事情弄得更错综复杂。我们大多数人在“解释”加上的时候，会说先把它们变成六分之几然后相加，“因为你不能用苹果和橘子相加”等等……这种说法既不合情理也很荒谬。苹果当然能和橘子相加。每一两个礼拜我去超市，我会先把一塑料袋苹果放进推车，然后到货架另一边抓一袋橘子扔进车里。我这不正在把苹果和橘子相加吗？同样道理，农夫先把一群牛赶进牲口棚，稍后可能又赶进来一群马，牛和马也被加在一起了。或者汽车商先开进来6辆福特，然后是5辆雪佛兰，福特和雪佛兰也加在了一起。
问题出在我们并没有说清楚我们本来的意思，因为我们事先并没想清楚自己到底想说什么。我们究竟想说明什么呢？
出人意料的是，很多孩子都知道这个问题，或者其实很容易弄明白这个问题。我曾经问一些6岁的孩子：“如果我把3匹马赶进牧场，然后又放进来3头牛，牧场上现在有什么？”孩子们想了一想，有的就会回答：“5个动物。”
当我们做出那个关于苹果橘子不能相加的让人费解的论断时，本意并非要说“相加”，而是结果的表达方式。我们可以把任何两样东西相加。真正的问题是，我们怎么表达这个结果。这是我们本来意思的第一个部分。第二个部分是，我们想找到一个数字，也就是分子，它能够描述苹果和橘子，或是马和牛，或是雪佛兰和福特，相加后得到的集合，这样的话我们就得给这个集合找“同一个名字”，也就是分母，这个名字适用于这个集合里的所有个体。这个名字是一个类别，于是我们得想出来一个其中的所有个体都具有的共性。就这么简单。这就是当我把3匹马和2头牛相加时，小孩子所说的“5个动物”。如果我想对我的篮子里所有的苹果和橘子使用一个分子，我得先想出来一个这两种东西都属于的类别，一个共同的名字，一个公分母。这就是水果。如果是汽车商，停车场里有几辆福特和雪佛兰，他要是想说那里有什么，他会说“我有5辆雪佛兰和6辆福特”。但如果他只想用一个数字表示，就得想出一个共同的名字，就必须有一个公分母。他可以说他有11辆汽车。如果他卖的是农业机械，停车场里不光是汽车，还有拖拉机、推土机诸如此类的东西，他可能会说：“我有这些机械车辆。”
现在学校里讲到分数时所用的例子只是一个特例。如果我把个馅饼放在盘子里，再放上的同一个馅饼（或者是另一个同样大小的馅饼的），我会说盘子里有什么呢？我可以说我有个和个馅饼。我还可以说我有2“块”馅饼。在这个例子里，“块”是个很棒的公分母。但它当然没能说明白我的盘子里有多少馅饼，是大块还是小块。所以我还得做两件事。首先，给我的这几块馅饼找到共同的名字，即公分母，告诉我整个馅饼有多大。然后，我的两块馅饼使用同样的名字，即公分母。我可以这么说，大块的馅饼是块馅饼，小块的是块馅饼。这样就很容易看出来当把这么两块馅饼相加时，得到的就是块馅饼。
谈了这么半天馅饼的例子，我现在要说的是，使用馅饼或圆形图来给孩子们介绍分数的概念是不当的。最简单的原因是，孩子没办法检查或测量（除非他使用角度的概念）他用分数相加出来的结果是对是错。给他一个6英寸长的纸条，一把尺子，让他测量这个纸条的一半是多长，再加上同一纸条的，总共是多长。孩子会很容易地发现答案，即5英寸。他可以清楚地看见他的结果。而用圆形图的话他就不那么明白或者根本没办法看明白了。记得有一回我精心地画了一张格子纸，长9个格子，宽3个格子，然后要一个五年级学生找出它的。在这张纸上，这个孩子画了个他熟悉的圆形图，然后得意地看着我。当然我只好试图给他解释圆形图只适用于馅饼或圆形物。这显然对他来说又是一个大人讲的那种没用的、让人莫名其妙的东西。他的所有其他老师在讲到分数时，总是画圆形图，所以在他看来，圆形图就是分数的表示法。当然，我那次终于说服了他，跟我学的时候就要用我看中的其他的法子、其他的体系。但他心目中关于分数的真正形象并没有改变。
最后我要强调的是，我们应该给孩子们灌输所有这些牛、水果、动物、汽车的概念，这样他们就能彻底明白如何将不同的东西相加了。我的确认为，如果我们知道自己在把这些不同的分数相加的时候到底在干什么，而不是像许许多多的数学老师那样并不清楚在做什么，并且不说那些让人莫名其妙的废话，那么我们就有大把机会知道该怎么做、怎么说，该使用什么样的教材，该布置什么样的作业让孩子们完成，这样，我们就能够使孩子们懂得分数的概念。
第二章 在家里学数学“无限”是什么
一个母亲曾给我写过一封很好的信，信中描述了她6岁的儿子关于数字的思考和问题。他的一个问题是：“紧挨着无限的是什么数？”我想了想这个有趣的问题，回答说，“无限”之前没有数字。孩子们觉得“无限”本身好像是一个数字，但事实不是这样。“无限的”这个词的意思是“无尽头的”或“无穷的”。你无法抵达一个尽头或边缘，因为根本就没有这样一个东西存在。不管你走多远，总可以继续走下去。对一个6岁的孩子，甚至是成年人来说，这或许并不是一个容易的概念。
家长或是数学家们会说，整数的集合中（比如1、2、3、4、5等）没有最大数。不管你想出来多大的一个数字，你总能再加上某个数字，或乘以某个数字。数学家并不管这样的整数集合叫做“无限的”而是“超限数” 。
在卡斯特纳和纽曼合著的一本很出色的叫做《数学与想像》的书中，有一章论及“超限数”，写得很好，可惜这本书已经绝版了。我们了解到，一个超限类，比如偶数集合，是与另一个集合，即全体整数的集合一样大的。这听上去有些丧失理智，因为整数中还有一半是奇数。我们说当一个集合的数字和另一个集合的数字一样多时，就意味着第一个集合里的每一个数都能在第二个集合里找到一个而且是惟一的一个数和它对应。每一只右脚的鞋都可以找到一只也是惟一的一只左脚的鞋和它相配，那就是说有多少只右脚的鞋，就有多少只左脚的鞋，即使我们并不知道具体的数目是多少。整数集合里的每个数字1、2、3……我们都可以用这个数乘以2，得到惟一的一个和它对应的偶数。1对应2，2对应4，3对应6，4对应8，5对应10，等等，可以一直做下去。所以我们可以说这两个集合数目相等。
这里有一个绝妙的证明，数学家称之为“优雅”（elegant）（的确如此），就是说分数集合中的分数数目和整数集合的数目相等。这真是令人难以相信，因为在任意两个整数之间你可以放置无穷多的分数。另一个优雅的证明是，小数集合中的数目大于整数集合。
数学家们对此做了大量的研究工作。格奥尔格•；康托发现某些超限数比其他的数字大。的确，我认为他找到了四五个不同的超限数，每一个都大于前面的一个。整数集合最小，小数集合次小，最大的是整个的函数集合。
这些对一个6岁的小孩（或任何人）来说是很难掌握的。如果孩子问到无限时，你可以向他稍作解释并试试他的反应。如果他把头转开去看别的东西，那就是够了。无论如何，谈到这个概念时我们要说“无限的”，而不是“无限”。数学中的无限没有特定的数字，有的只是形容词“无限的”，意思是我前面讲过的，没有尽头或边际。
第二章 在家里学数学秘密的数学游戏
我的头四年学生生活是在一个很传统的学校度过的。它用纯粹背诵的办法教数学，把我们当成鹦鹉，或是会说话的实验室动物。我不记得有哪个老师曾经和我们探讨过数学的概念，或教我们玩数学游戏。他们的工作内容就是教给我们“算式”，向我们演示怎么解题目，然后布置作业、判作业，并让我们做练习、考试。
但正像我们小孩有自己秘密的游戏世界一样，我们也有秘密的数学世界。学校里流行着很多的数学戏法和游戏，这当然是不被老师所鼓励的，甚至都不能让他们发觉。我们经常在班上或是在自修室里面躲在课本后面玩这些游戏。
其中一个游戏叫做“猜数”。学生甲找到学生乙，最好还有学生丙、丁、戊在旁边，下面的谈话开始了：
甲：你现在想好一个数字，别告诉我，但你自己把它记好。
乙：好，我想好了。
甲：千万别忘了！
乙：别担心，我不会的！
甲：现在把它加上3——不过别告诉我答案。
乙：好了。
甲：现在加上10。
乙：好了。
甲：现在拿走7。（我们不说“减去”，虽然老师是这么教的。）
乙：好。
甲：现在加上5。
乙：好。
甲：现在拿走你一开始想到的数字。
乙：好。
甲：（胜利地宣布）答案是11！
这时丙、丁和戊可能会来挑战甲，让他再来一遍这个戏法。甲重复做了几次都没有出现任何纰漏，于是他们开始相信他真的是行家里手。于是他们会走开，摇着头百思不得其解。或者他们会央求着让甲教他们变这个戏法。
我还没见过哪个孩子真会教给其他孩子这个戏法的诀窍。不过每年每批孩子都能自己想明白。当新的一批学生进入学校后，该轮到他们被捉弄了。
就我记忆所及，“魔术师”当中没有谁把这些步骤写下来。给出数字的过程都是在脑子里进行的，一次一步。步骤越多，最后我们报出来正确得数的时候，别的孩子会越迷惑不解。
偶尔地，或许就是“魔术师”自己，虽然把过程烂熟于心，还是会在加加减减的时候出错，导致最后得数不对。于是紧接着就会爆发一场激烈的闹哄哄的争论，一般会随着“魔术师”要求重新来一遍而平息。如果答案连着错了两三次，“魔术师”会坚持说这是因为对方算得不对，然后换人来做。因为通常对方是比“魔术师”小的孩子，大家也就很容易地接受这种说法。
我猜想对于那些刚刚开始学习加法的孩子来说，这个戏法真是太好玩了。
还有一个我和伙伴们在学校常玩的数学游戏，它和数学老师没关系，他们甚至都没有听说过。这个游戏是要写下来的。这需要花些时间，还要小心，不要当场出丑。
在一张纸上画上方格。我们当时没有坐标纸，所以得自己拿尺子打格子。一般10×10见方的格子足够大了，不过有时候一些更复杂的造型需要再大一些的纸。
然后在格子纸上我们开始画图形，从一个格子和另一个格子的交汇点开始，用直线连接到另一个交汇点，持续下去直到图形完成。可能是一只狗，或是帆船，或是飞机，或者就是一个简单的形状。以“狗”为例，我们在格子纸的左边开始，从狗鼻子画起。然后说：“向右上方两格。”我们便得到第二个点。然后说：“向右下方两格。”第三个点出现了。然后：“向右四格。”这样继续直到“狗”的形象完成，如图所示：
现在，好玩的部分开始了。我们再画一张10×10的格子纸，但这次的格子画得要么大点，要么小点。在这张纸上我们完全按照上次的步骤，从起始点开始，向右上方两格……直到图形完成。然后我们比较这两张图，我们总是非常惊奇地发现新图形和旧的看上去完全一样，只是大小不同。这简直是个奇迹。我们画了又画，每一次都会为那个形状一模一样只是尺寸相异的图形感到惊讶和兴奋。
由于我们“理应”做正常的算术作业，而且要小心地把格子纸收藏好以防老师发现，我们无法用很大尺寸的纸来画。如果老师知道并且会鼓励我们做这个游戏，我们本来可以把极小的图形放大到其大无比，甚至用那种几乎能把整面墙盖住的纸来画，那该多让人兴奋啊！
我不记得是否有人曾经想过在格子纸的底边和左边标上数字，或是想到可以用这些数字来定位纸上的每一个点，像这样：
你可以画出一个图形，然后不用告诉另一个人别的什么，只需给他一些数字，他就能画出和你画的一模
