九章算术-第6章
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〔求方幂之一面也。〕
术曰：置积为实。借一算，步之，超一等。
〔言百之面十也。言万之面百也。〕
议所得，以一乘所借一算为法，而以除。
〔先得黄甲之面，上下相命，是自乘而除也。〕
除已，倍法为定法。
〔倍之者，豫张两面朱幂定袤，以待复除，故曰定法。〕
其复除，折法而下。
〔欲除朱幂者，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘，而以除。
如是当复步之而止，乃得相命。故使就上折下。〕
复置借算，步之如初。以复议一乘之，
〔欲除朱幂之角黄乙之幂，其意如初之所得也。〕
所得副以加定法，以除。以所得副从定法。
〔再以黄乙之面加定法者，是则张两青幂之袤。〕
复除，折下如前。若开之不尽者，为不可开，当以面命之。
〔术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。凡开积为方，方之
自乘当还复有积分。令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。
其数不可得而定。故惟以面命之，为不失耳。譬犹以三除十，以其余为三分之一，
而复其数可以举。不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，
其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，
不足言之也。〕
若实有分者，通分内子为定实，乃开之。讫，开其母，报除。
〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合二母。既开之后，一母尚存，故开
分母，求一母为法，以报除也。〕
若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。
〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既开之后，
亦一母存焉，故令一母而一，得全面也。
又按：此术“开方”者，求方幂之面也。借一算者，假借一算，空有列位之
名，而无除积之实。方隅得面，是故借算列之于下。“步之超一等”者，方十自
乘，其积有百，方百自乘，其积有万，故超位，至百而言十，至万而言百。“议
所得，以一乘所借算为法，而以除”者，先得黄甲之面，以方为积者两相乘，故
开方除之，还令两面上下相命，是自乘而除之。“除已，倍法为定法”者，实积
未尽，当复更除，故豫张两面朱幂袤，以待复除，故曰定法。“其复除，折法而
下”者，欲除朱幂，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘之，而以除，
如是，当复步之而止，乃得相命。故使就上折之而下。“复置借算，步之如初，
以复议一乘之，所得副以加定法，以定法除”者。欲除朱幂之角黄乙之幂。“以
所得副从定法”者，再以黄乙之面加定法，是则张两青幂之袤，故如前开之，即
合所问。〕
今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何？答曰：一百三十五步。
〔于徽术，当周一百三十八步一十分步之一。
淳风等按：此依密率，为周一百三十八步五十分步之九。〕
又有积三百步，问为圆周几何？答曰：六十步。
〔于徽术，当周六十一步五十分步之十九。
淳风等按：依密率，为周六十一步一百分步之四十一。〕
开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。
〔此术以周三径一为率，与旧圆田术相返覆也。于徽术，以三百一十四乘积，
如二十五而一，所得，开方除之，即周也。开方除之，即径。是为据见幂以求周，
犹失之于微少。其以二百乘积，一百五十七而一，开方除之，即径，犹失之于微
多。
淳风等按：此注于徽术求周之法，其中不用“开方除之，即径”六字，今
本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一。按周三径一之率，假令周六径
二，半周半径相乘得幂三，周六自乘得三十六。俱以等数除幂，得一周之数十二
也。其积：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得积三也。术为一乘不长，故以
十二而一，得此积。今还原，置此积三，以十二乘之者，复其本周自乘之数。凡
物自乘，开方除之，复其本数，故开方除之，即周。〕
今有积一百八十六万八百六十七尺，
〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者，曰立方。〕
问为立方几何？答曰：一百二十三尺。
又有积一千九百五十三尺八分尺之一，问为立方几何？答曰：一十二尺半。
又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，问为立方几何？答
曰：三十九尺八分尺之七。
又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，问为立方几何？
答曰：一百二十四尺太半尺。
开立方
〔立方适等，求其一面也。〕
术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。
〔言千之面十，言百万之面百。〕
议所得，以再乘所借一算为法，而除之。
〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕
除已，三之为定法。
〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕
复除，折而下。
〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，
方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，
折下一等也。〕
以三乘所得数，置中行。
〔设三廉之定长。〕
复借一算，置下行。
〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕
步之，中超一，下超二等。
〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，
故又降一等也。〕
复置议，以一乘中，
〔为三廉备幂也。〕
再乘下，
〔令隅自乘，为方幂也。〕
皆副以加定法。以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕
除已，倍下，并中，从定法。
〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅
连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕
复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。
〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕
若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之。讫，开其母以报除。
〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合三母。既开之后一母尚存，故开分
母，求一母，为法，以报除也。〕
若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。
〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既开之
后，一母犹存，故令一母而一，得全面也。
按：“开立方”知，立方适等，求其一面之数。“借一算，步之，超二等”
者，但立方求积，方再自乘，就积开之，故超二等，言千之面十，言百万之面百。
“议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，求为方幂，以议命之而除，则立方
等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定
法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据
开平方，百之面十，其开立方，即千之面十。而定法已有成方之幂，故复除之者，
当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定长。“复借
一算，置下行”者，欲以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之，
中超一，下超二”者，上方法长自乘而一折，中廉法但有长，故降一等，下隅法
无面长，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当
令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有幂，
以上议命之而除，去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以
两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如
前，开方，即合所问。“有分者，通分内子开之。讫，开其母以报除”，“可开
者，并通之积，先合三母；既开之后，一母尚存，故开分母”者，“求一母为法，
以报除。”“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分
母不可开者，本一母，又以母再乘，令合三母，既开之后，亦一母尚存。故令如
母而一，得全面也。〕
今有积四千五百尺。
〔亦谓立方之尺也。〕
问为立圆径几何？答曰：二十尺。
〔依密率，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕
又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几
何？答曰：一万四千三百尺。
〔依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕
开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立
圆径。
〔立圆，即丸也。为术者，盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三，圆
囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二，为丸率九，丸居圆囷又四分之三也。
置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积，
九而一，得立方之积。丸径与立方等，故开立方而除，得径也。然此意非也。何
以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，
高二寸。又复横因之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按：合
盖者，方率也，丸居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉？
以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多，互相通补，是以
九与十六之率偶与实相近，而丸犹伤多耳。观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，
而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正
理。敢不阙疑，以俟能言者。
黄金方寸，重十六两；金丸径寸，重九两，率生于此，未曾验也。《周官·
考工记》：“朅氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之
然后量之。”言炼金使极精，而后分之则可以为率也。令丸径自乘，三而一，开
方除之，即丸中之立方也。假令丸中立方五尺，五尺为句，句自乘幂二十五尺。
倍之得五十尺，以为弦幂，谓平面方五尺之弦也。以此弦为股，亦以五尺为句，
并句股幂得七十五尺，是为大弦幂。开方除之，则大弦可知也。大弦则中立方之
长邪，邪即丸径。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂，三分之一也。今大弦还乘
其幂，即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之，为面，命
得外立方积，四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘
之，得积一百二十五尺，一百二十五尺自乘，为面，命得积，一万五千六百二十
五尺之面。皆以六百二十五约之，外立方积，六百七十五尺之面，中立方积，二
十五尺之面也。
张衡算又谓立方为质，立圆为浑。衡言质之与中外之浑：六百七十五尺之面，
开方除之，不足一，谓外浑积二十六也；内浑，二十五之面，谓积五尺也。今徽
令质言中浑，浑又言质，则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之
率推以言浑之率也。衡又言：“质，六十四之面；浑，二十五之面。”质复言浑，
谓居质八分之五也。又云：方，八之面；圆，五之面。”圆浑相推，知其复以圆
囷为方率，浑为圆率也，失之远矣。衡说之自然欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密
矣。虽有文辞，斯乱道破义，病也。置外质积二十六，以九乘之，十六而一，得
积十四尺八分尺之五，即质中之浑也。以分母乘全内子，得一百一十七。又置内
质积五，以分母乘之，得四十，是谓质居浑一百一十七分之四十，而浑率犹为伤
多也。假令方二尺，方四面，并得八尺也，谓之方周。其中令圆径与方等，亦二
尺也。圆半径以乘圆周之半，即圆幂也。半方以乘方周之半，即方幂也。然则方
周知，方幂之率也；圆周知，圆幂之率也。按：如衡术，方周率八之面，圆周率
五之面也。令方周六十四尺之面，圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘，得径四
尺之面，是为圆周率十之面，而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非，是故
更著此法，然增
