九章算术-第4章
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今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？答曰：一个，五
钱四十七分钱之三十五。
经率术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一。
〔此术犹经分。
淳风等按：今有之义，以所求率乘所有数，合以瓴甓一枚乘钱一百六十为实。
但以一乘不长，故不复乘，是以径将所买之率与所出之钱为法、实也。又按：此
今有之义。出钱为所有数，一枚为所求率，所买为所有率，而今有之，即得所求
数。一乘不长，故不复乘，是以径将所买之率为法，以所出之钱为实，实如法得
一枚钱。不尽者，等数而命分。〕
今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升太半升。欲斗率之，问斗几何？
答曰：一斗，三百四十五钱五百三分钱之一十五。
今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。欲丈率之，问丈几何？答曰：一丈，
一百一十八钱六十一分钱之二。
今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲匹率之，问匹几何？答曰：
一匹，二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四。
今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤。欲石率之，问石几何？
答曰：一石，八千三百二十六钱一百九十七分钱之百七十八。
术曰：以求所率乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一。
〔淳风等按：今有之义，钱为所求率，物为所有数，故以乘钱，又以分母乘
之为实。实如法而一，有分者通之。所买通分内子为所有率，故以为法。得钱数
不尽而命分者，因法为母，实余为子。实见不满，故以命之。〕
今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之，问各几何？答曰：其
四十八个，个七钱；其三十个，个八钱。
今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之，问各几何？
答曰：其二钧八斤，斤五钱；其一石一十斤，斤六钱。
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石
率之，问各几何？答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱；其一石一钧二
十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧
率之，问各几何？答曰：其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱；其一石二钧二十
斤八两二十铢，钧二千一十三钱。
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤
率之，问各几何？答曰：其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱；其二十斤九两
一铢，斤六十八钱。
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两
率之，问各几何？答曰：其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱；其一钧一
十斤五两四铢，两五钱。
其率术曰：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法
而一。不满法者，反以实减法。法贱实贵。其求石、钧、斤、两，以积铢各除法、
实，各得其积数，余各为铢。
〔其率知，欲令无分。按：出钱五百七十六，买竹七十八个，以除钱，得七，
实余三十，是为三十个复可增一钱。然则实余之数即是贵者之数，故曰实贵也。
本以七十八个为法，今以贵者减之，则其余悉是贱者之数。故曰法贱也。其求石、
钧、斤、两，以积铢各除法、实，各得其积数，余各为铢者，谓石、钧、斤、两
积铢除实，又以石、钧、斤、两积铢除法，余各为铢，即合所问。〕
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢
率之，问各几何？答曰：其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱；其一石一钧七斤
一十二两一十八铢，六铢一钱。
今有出钱六百二十，买羽二千一百翭。
〔翭，羽本也。数羽称其本，犹数草木称其根株。〕
欲其贵贱率之，问各几何？答曰：其一千一百四十翭，三翭一钱；
其九百六十翭，四翭钱。
今有出钱九百八十，买矢榦五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？答
曰：其三百枚，五枚一钱；其五千五百二十枚，六枚一钱。
反其率术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者，反以实减
法。法少实多。二物各以所得多少之数乘法、实，即物数。
〔按：其率：出钱六百二十，买羽二千一百翭。反之，当二百四十钱，
一钱翭；其三百八十钱，一钱三翭。是钱有二价，物有贵贱。故以羽乘
钱，反其率也。
淳风等按：其率者，钱多物少；反其率知，钱少物多；多少相反，故曰反其
率也。其率者，以物数为法，钱数为实。反之知，以钱数为法，物数为实。不满
法知，实余也。当以余物化为钱矣。法为凡钱，而今以化钱减之，故以实减法。
法少知，经分之所得，故曰法少；实多者，余分之所益，故曰实多。乘实宜以多，
乘法宜以少，故曰各以其所得多少之数乘法、实，即物数。〕
卷三
○衰分（以御贵贱禀税）
衰分
〔衰分，差也。〕
术曰：各置列衰；
〔列衰，相与率也。重叠，则可约。〕
副并为法，以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。
〔法集而衰别。数，本一也。今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除，适
足相消，故所分犹存，且各应率而别也。于今有术，列衰各为所求率，副并为所
有率，所分为所有数。又以经分言之，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并
六人，共分十二，为人得二也。欲复作逐家者，则当列置人数，以一人所得乘之。
今此术先乘而后除也。〕
不满法者，以法命之。
今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，
问各得几何？答曰：大夫得一鹿三分鹿之二；不更得一鹿三分鹿之一；簪袅得一
鹿；上造得三分鹿之二；公士得三分鹿之一。
术曰：列置爵数，各自为衰。
〔爵数者，谓大夫五，不更四，簪袅三，上造二，公士一也。《墨子·号令
篇》以爵级为赐，然则战国之初有此名也。〕
副并为法。以五鹿乘未并者各自为实。实如法得一鹿。
〔今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，今有鹿数为所有数，而今有之，
即得。〕
今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主
曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？答曰：牛主出二斗八升七分升
之四；马主出一斗四升七分升之二；羊主出七升七分升之一。
术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自
为实。实如法得一斗。
〔淳风等按：此术问意，羊食半马，马食半牛，是谓四羊当一牛，二羊当一
马。今术置羊一、马二、牛四者，通其率以为列衰。〕
今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，
关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？答曰：甲出五十一钱一百九分钱之
四十一；乙出三十二钱一百九分钱之一十二；丙出一十六钱一百九分钱之五十六。
术曰：各置钱数为列衰，副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得
一钱。
〔淳风等按：此术甲、乙、丙持钱数以为列衰，副并为所有率，未并者各为
所求率，百钱为所有数，而今有之，即得。〕
今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？答曰：初日织一寸三十
一分寸之十九；次日织三寸三十一分寸之七；次日织六寸三十一分寸之十四；次
日织一尺二寸三十一分寸之二十八；次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。
术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法。以五尺乘未并者，各自
为实。实如法得一尺。
今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十
六。凡三乡发徭三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问各几何？答曰：北乡遣
一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七；西乡遣一百一十
二人一万二千一百七十五分人之四千四；南乡遣一百二十九人一万二千一百七十
五分人之八千七百九。
术曰：各置算数为列衰，
〔淳风等按：三乡算数，约，可半者，为列衰。〕
副并为法。以所发徭人数乘未并者，各自为实。实如法得一人。
〔按：此术，今有之义也。〕
今有禀粟，大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫
一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问各几何？答曰：大夫出一斗四
分斗之一；不更出一斗；簪袅出四分斗之三；上造出四分斗之二；公士出四分斗
之一。
术曰：各置所禀粟斛，斗数、爵次均之，以为列衰。副并而加后来大夫亦五
斗，得二十以为法。以五斗乘未并者，各自为实。实如法得一斗。
〔禀前五人十五斗者，大夫得五斗，不更得四斗，簪袅得三斗，上造得二斗，
公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫，即与前来大夫同。据前来
大夫已得五斗，故言亦也。各以所得斗数为衰，并得十五，而加后来大夫亦五斗，
凡二十，为法也。是为六人共出五斗，后来大夫亦俱损折。今有术，副并为所有
率，未并者各为所求率，五斗为所有数，而今有之，即得。〕
今有禀粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，问各几何？答曰：三
人，人得一斛一斗五升十三分升之五；二人，人得七斗六升十三分升之十二。
术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者各
自为实。实如法得一斛。
反衰术曰：列置衰而令相乘，动者为不动者衰。
今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以
次渐多，问各几何？答曰：大夫出八钱一百三十七分钱之一百四；不更出一十钱
一百三十七分钱之一百三十；簪袅出一十四钱一百三十七分钱之八十二；上造出
二十一钱一百三十七分钱之一百二十三；公士出四十三钱一百三十七分钱之一百
九。
术曰：置爵数，各自为衰，而反衰之。副并为法。以百钱乘未并者，各自为
实。实如法得一钱。
〔以爵次言之，大夫五、不更四。欲令高爵得多者，当使大夫一人受五分，
不更一人受四分。人数为母，分数为子。母同则子齐，齐即衰也。故上衰分宜以
五、四为列焉。今此令高爵出少，则当大夫五人共出一人分，不更四人共出一人
分，故谓之反衰。人数不同，则分数不齐。当令母互乘子。母互乘子，则动者为
不动者衰也。亦可先同其母，各以分母约，其子为反衰。副并为法。以所分乘未
并者，各自为实。实如法而一。〕
今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何？
答曰：甲二升一十分升之七；乙四升一十分升之五；丙一升一十分升之八。
术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰，而反衰之。副并为法。
以九升乘未并者，各自为实。实如法得一升。
〔按：此术，三人所持升数虽等，论其本率，精粗不同。米率虽少，令最得
多；饭率虽多，反使得少。故令反之，使精得多而粗得少。于今有术，副并为所
有率，未并者各为所求率，九升为所有数，而今有之，即得。〕
今有丝一斤，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问得丝几何？答曰：
五斤八两一十二铢五分铢之四。
术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实。实如法得丝数。
〔按：此术今有之义，以一斤价为所有率，一斤为所求率，今有钱为所有数，
而今有之，即得。〕
今有丝一斤，价直三百四十五。今有丝七两一十二铢，问得钱几何？答曰：
一百六十一钱三十二分钱之二十三。
术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。
〔淳风等按：此术亦今有之义。以丝一斤铢数为所有率，价钱为所求率，今
有丝为所有数，而今有之，即得。〕
今有缣一丈，价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸，问得钱几何？答曰：
六百三十三钱五分钱之三。
术曰：以一丈寸数为
