九章算术-第14章
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盈不足章“黄金白银”与此相当。“假令黄金九，白银一十一，称之重适等。
交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？”与此同。〕
今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并
雀、燕重一斤。问雀、燕一枚各重几何？答曰：雀重一两一十九分两之一十三。
燕重一两一十九分两之五。
术曰：如方程。交易质之，各重八两。
〔此四雀一燕与一雀五燕衡适平，并重一斤，故各八两。列两行程数。左行
头位其数有一者，令右行遍除。亦可令于左行而取其法、实于左。左行数多，以
右行取其数。左头位减尽，中、下位算当燕与实。右行不动。左上空，中法，下
实，即每枚当重宜可知也。按：此四雀一燕与一雀五燕其重等，是三雀、四燕重
相当。雀率重四，燕率重三也。诸再程之率皆可异术求也，即其数也。〕
今有甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。
问甲、乙持钱各几何？答曰：甲持三十七钱半。乙持二十五钱。
术曰：如方程。损益之。
〔此问者言一甲，半乙而五十；太半甲，一乙亦五十也。各以分母乘其全，
内子。行定：二甲，一乙而钱一百；二甲，三乙而钱一百五十。于是乃如方程。
诸物有分者放此。〕
今有二马，一牛，价过一万，如半马之价；一马，二牛，价不满一万，如半
牛之价。问牛、马价各几何？答曰：马价五千四百五十四钱一十一分钱之六。牛
价一千八百一十八钱一十一分钱之二。
术曰：如方程。损益之。
〔此一马半与一牛价直一万也，二牛半与一马亦直一万也。一马半与一牛直
钱一万，通分内子，右行为三马，二牛，直钱二万。二牛半与一马直钱一万，通
分内子，左行为二马，五牛，直钱二万也。〕
今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借
中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各
力引几何？答曰：武马一匹力引二十二石七分石之六。中马一匹力引一十七石七
分石之一。下马一匹力引五石七分石之五。
术曰：如方程。各置所借，以正负术入之。
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠。乙三绠不足，以丙一绠；丙四绠不
足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠。如各得所不足
一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？答曰：井深七丈二尺一寸。甲绠长二丈六尺
五寸。乙绠长一丈九尺一寸。丙绠长一丈四尺八寸。丁绠长一丈二尺九寸。戊绠
长七尺六寸。
术曰：如方程。以正负术入之。
〔此率初如方程为之，名各一逮井。其后，法得七百二十一，实七十六，是
为七百二十一绠而七十六逮井，并用逮之数。以法除实者，而戊一绠逮井之数定，
逮七百二十一分之七十六。是故七百二十一为井深，七十六为戊绠之长，举率以
言之。〕
今有白禾二步，青禾三步，黄禾四步，黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，
青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。问白、青、黄、黑
禾实一步各几何？答曰：白禾一步实一百一十一分斗之三十三。青禾一步实一百
一十一分斗之二十八。黄禾一步实一百一十一分斗之一十七。黑禾一步实一百一
十一分斗之一十。
术曰：如方程。各置所取，以正负术入之。
今有甲禾二秉，乙禾三秉，丙禾四秉，重皆过于石。甲二重如乙一，乙三重
如丙一，丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何？答曰：甲禾一秉重二十
三分石之一十七。乙禾一秉重二十三分石之一十一。丙禾一秉重二十三分石之一
十。
术曰：如方程。置重过于石之物为负。
〔此问者言甲禾二秉之重过于一石也。其过者何云？如乙一秉重矣。互其算，
令相折除，而一以石为之差实。差实者，如甲禾余实。故置算相与同也。〕
以正负术入之。
〔此入，头位异名相除者，正无入正之，负无入负之也。〕
今有令一人，吏五人，从者一十人，食鸡一十；令一十人，吏一人，从者五
人，食鸡八；令五人，吏一十人，从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几
何？答曰令一人食一百二十二分鸡之四十五。吏一人食一百二十二分鸡之四十一。
从者一人食一百二十二分鸡之九十七。
术曰：如方程。以正负术入之。
今有五羊，四犬，三鸡，二兔，直钱一千四百九十六；四羊，二犬，六鸡，
三兔，直钱一千一百七十五；三羊，一犬，七鸡，五兔，直钱九百五十八；二羊，
三犬，五鸡，一兔，直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何？答曰：羊价
一百七十七。犬价一百二十一。鸡价二十三。兔价二十九。
术曰：如方程。以正负术入之。
今有麻九斗，麦七斗，菽三斗，荅二斗，黍五斗，直钱一百四十；麻七斗，
麦六斗，菽四斗，荅五斗，黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗，麦五斗，菽七斗，
荅六斗，黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗，麦五斗，菽三斗，荅九斗，黍四斗，
直钱一百一十二；麻一斗，麦三斗，菽二斗，荅八斗，黍五斗，直钱九十五。问
一斗直几何？荅曰：麻一斗七钱。麦一斗四钱。菽一斗三钱。荅一斗五钱。黍一
斗六钱。
术曰：如方程。以正负术入之。
〔此麻麦与均输、少广之章重衰、积分皆为大事。其拙于精理徒按本术者，
或用算而布毡，方好烦而喜误，曾不知其非，反欲以多为贵。故其算也，莫不暗
于设通而专于一端。至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约。更有异术者，
庖丁解牛，游刃理间，故能历久其刃如新。夫数，犹刃也，易简用之则动中庖丁
之理。故能和神爱刃，速而寡尤。凡九章为大事，按法皆不尽一百算也。虽布算
不多，然足以算多。世人多以方程为难，或尽布算之象在缀正负而已，未暇以论
其设动无方，斯胶柱调瑟之类。聊复恢演，为作新术，著之于此，将亦启导疑意。
网罗道精，岂传之空言？记其施用之例，著策之数，每举一隅焉。
方程新术曰：以正负术入之。令左、右相减，先去下实，又转去物位，则其
求一行二物正负相借者，是其相当之率。又令二物与他行互相去取，转其二物相
借之数，即皆相当之率也。各据二物相当之率，对易其数，即各当之率也。更置
成行及其下实，各以其物本率今有之，求其所同。并，以为法。其当相并而行中
正负杂者，同名相从，异名相消，余，以为法。以下置为实。实如法，即合所问
也。一物各以本率今有之，即皆合所问也。率不通者，齐之。
其一术曰：置群物通率为列衰。更置成行群物之数，各以其率乘之，并，以
为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余为法。以成行下实乘
列衰，各自为实。实如法而一，即得。
以旧术为之。凡应置五行。今欲要约，先置第三行，减以第四行，又减第五
行；次置第二行，以第二行减第一行，又减第四行。去其头位；余，可半；次置
右行及第二行。去其头位；次以右行去第四行头位，次以左行去第二行头位，次
以第五行去第一行头位；次以第二行去第四行头位；余，可半；以右行去第二行
头位，以第二行去第四行头位。余，约之为法、实。实如法而一，得六，即有黍
价。以法治第二行，得荅价，右行得菽价，左行得麦价，第三行麻价。如此凡用
七十七算。
以新术为此。先以第四行减第三行；次以第三行去右行及第二行、第四行下
位，又以减左行下位，不足减乃止；次以左行减第三行下位，次以第三行去左行
下位。讫，废去第三行。次以第四行去左行下位，又以减右行下位；次以右行去
第二行及第四行下位；次以第二行减第四行及左行头位；次以第四行减左行菽位，
不足减乃止；次以左行减第二行头位，余，可再半；次以第四行去左行及第二行
头位，次以第二行去左行头位，余，约之，上得五，下得三，是菽五当荅；次以
左行去第二行菽位，又以减第四行及右行菽位，不足减乃止；次以右行减第二行
头位，不足减乃止；次以第二行去右行头位，次以左行去右行头位；余，上得六，
下得五，是为荅六当黍五；次以左行去右行荅位，余，约之，上为二，下为一；
次以右行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以减左行下位；次，左行去
第二行下位，余，上得三，下得四，是为麦三当菽四；次以第二行减第四行下位；
次以第四行去第二行下位；余，上得四，下得七，是为麻四当麦七。是为相当之
率举矣。据麻四当麦七，即麻价率七而麦价率四；又麦三当菽四，即为麦价率四
而菽价率三；又菽五当荅三，即为菽价率三而荅价率五；又荅六当黍五，即为荅
价率五而黍价率六；而率通矣。更置第三行，以第四行减之，余有麻一斗，菽四
斗正，荅三斗负，下实四正。求其同为麻之数，以菽率三、荅率五各乘其斗数，
如麻率七而一，菽得一斗七分斗之五正，荅得二斗七分斗之一负。则菽、荅化为
麻。以并之，令同名相从，异名相消，余得定麻七分斗之四，以为法。置四为实，
而分母乘之，实得二十八，而分子化为法矣以法除得七，即麻一斗之价。置麦率
四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自为实。以麻率七为法。所得即
各为价。亦可使置本行实与物同通之，各以本率今有之，求其本率所得。并，
以为法。如此，即无正负之异矣，择异同而已。又可以一术为之。置五行通率，
为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六，以为列衰。成行麻一斗，菽四斗正，荅三斗
负，各以其率乘之。讫，令同名相从，异名相消，余为法。又置下实乘列衰，所
得各为实。此可以置约法，则不复乘列衰，各以列衰为价。如此则凡用一百二十
四算也。〕
卷九
○句股（以御高深广远）
今有句三尺，股四尺，问为弦几何？答曰：五尺。
今有弦五尺，句三尺，问为股几何？答曰：四尺。
今有股四尺，弦五尺，问为句几何？答曰：三尺。
句股
〔短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦。句短其股，股短其弦。将以施于诸
率，故先具此术以见其源也。〕
术曰：句、股各自乘，并，而开方除之，即弦。
〔句自乘为朱方，股自乘为青方。令出入相补，各从其类，因就其余不移动
也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。〕
又，股自乘，以减弦自乘。其余，开方除之，即句。
〔淳风等按：此术以句、股幂合成弦幂。句方于内，则句短于股。令股自乘，
以减弦自乘，余者即句幂也。故开方除之，即句也。〕
又，句自乘，以减弦自乘。其余，开方除之，即股。
〔句、股幂合以成弦幂，令去其一，则余在者皆可得而知之。〕
今有圆材，径二尺五寸。欲为方版，令厚七寸，问广几何？答曰：二尺四寸。
术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘，减之。其余，开方除之，即广。
〔此以圆径二尺五寸为弦，版厚七寸为句，所求广为股也。〕
今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？
答曰：二丈九尺。
术曰：以七周乘围为股，木长为句，为之求弦。弦者，葛之长。
〔据围广，求从为木长者其形葛卷裹袤。以笔管，青线宛转，有似葛之缠木。
解而观之，则每周之间自有相间成句股弦。则其间葛长，弦。七周乘围，并合众
句以为一句；木长而股，短；术云木长谓之股，言之倒。句与股求弦，亦无围。
弦之自乘幂出上第一图。句、股幂合为弦幂，明矣。然二幂之数谓倒在于弦幂之
中而已。可更相表里，居里者则成方幂，其居表者则成矩幂。二表里形讹而数均。
又按：此图句幂之矩青，卷白表，是其幂以股弦差为广，股弦并为袤，而股幂方
其里。股幂之矩青，卷白表，是其幂以句弦差为广，句弦并为袤，而句幂方其里。
是故差之与并用除之，短、长互相乘也。〕
今有池方一丈，葭生其中央
