打造宋帝国-第9章
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这下可轮到戴言无语了，可以盈补虚为直之田才能是圭田，才能是斜田？他一直以为圭田所说的就是三角形的田，而斜田则就是梯形田，然而一定要以盈补虚才可以？这岂不是说圭田就是等腰三角形，而斜田则就是等腰梯形吗？那么一般的三角形和梯形是什么形呢？
其实这就是中国文明的一种内在缺陷了，中国的文明直到此时才开始有归类思想的萌芽，开始出现了坚白之辩，白马非马等命题，但是经过战国时代以后，这些辩论也开始从历史上消失了，然而戴言却并不知道。他心中一阵发苦，怎么感觉自己是在教小学生呢？
罢了，多辛苦一下吧，戴言心中安慰自己。“巨子在上，您认为三条边界所围成的田只有能以盈补虚的田才是圭田？”戴言字斟句酌的问着田鸠。
“然也。”田鸠答道。
“那么小子在这里请巨子随意在地上划出三条线，围成一块形，此形有三个角，既然巨子认为此形不算是圭田，那么我姑且称它为三角形吧。”戴言道。
田鸠按照戴言的吩咐做了，在地上随意的划出了一个三角形。
“巨子认为此形是无法以盈补虚了，从表面上看这却时是真的，那么小子就多加一步如何？”戴言说完就以三角形一边为公共边，又以一边为底边画了一个与原三角形相倒立的全等三角形，于是就组成了一块平行四边形。
“我们把两个三角形合成的图形看作是一个整体，此形不同于方田，也不同于斜田，然而此田却是同样可以以盈补虚的。”戴言说完，又在此平行四边形的底角处做出了一条垂直线，直接与底边垂直，如此又切割出了一个直角三角形。
“接下来，以此形之盈补彼处之虚，则整个形状就变为方田了，如此整个方田的大小（面积）为广（底边）乘以正从（三角形的高），那么此三角形的大小则为此方形的一半，也即半广以乘正从。”戴言淡淡的说道。
半广以乘正从！巨子田鸠心中巨震，他当然知道这是什么意思，事实上这就是数千年来流传下来的测量圭田大小（面积）的方法，然而他随意的画出了一个所谓的三角形，面前的少年公子轻松的添加了一笔就轻轻松松的得出此形的大小一样为半广以乘正从，和圭田的算法一模一样，它们之间到底有何共同点呢？田鸠眉头紧锁，心中陷入了深深的思考。
“公子做此为何意？公子的意思可是三角形的大小都可以此法来计算？刚刚公子也只是测量出了此三角形的大小，然而公子就认定所有的三角形的大小都可以依此法来计算否？天下岂有如此一法可通万法的道理？”这却是田鸠身后一个墨家弟子发问了。
“缠子，住口，这位公子如此做法当然是有他的道理。”田鸠发话了。然后又向戴言问道：“然而我观公子此法一环套一环，其中甚是精密。在下说不出口为何，然而心中却觉得公子此法似乎确为理所当然，还望公子教我。”说完，对着戴言长拜一礼，以示尊敬。
“先生万万不可。”戴言连忙避开田鸠的这一礼，开玩笑，知道了眼前此人乃是整个天下都出名的墨家巨子，天下闻名的学者，戴言岂敢受其一礼。随后他又说道：“我方才所言却是想说明只要随意的画出一个三角形，那么它的大小即是半广以乘正从，而那种不规则的斜田之计算方法也可以同样的方法算出，各位以为然否？”
在场的众人都是连连摇头，纷纷表示不能理解，田鸠也是摇头不语。戴言心中也开始骂娘了，一个后世小学三年级都知道的几何知识，为何在场如此多人都不能够理解？
其实这就是戴言不知道几何学的来历了。几何学的起源后世公认是起源于古埃及，在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，因此古埃及人都掌握了丰富的测量技术的经验和某些几何知识；同时由于古埃及的法老们一即位就要修金字塔，像金字塔如此规整的几何图形如果没有丰富的数学和几何知识简直让人无法想象如何能够修出来。
然而古埃及的几何学就是后世的几何学吗？并不是。古埃及人的数学和几何经验虽热丰富，但是他们却并没有将其上升为系统的理论。真正建立起几何学根基的，是来自希腊的商人泰勒斯。泰勒斯早年游学于古埃及，从古埃及人这里他学到了几何的初步知识。随后他又去游历了古巴比伦，古巴比伦的祭司阶层极为发达，同时古巴比伦人崇拜月亮，也就是月神，因此古巴比伦祭司需要去解释月食，因此他们积累出了丰富的代数知识，他们可以把月食的日子算到小数点后多少位，泰勒斯从这里又学到了代数学的知识。随后他回到了他的家乡——港口城市米力都，在那里，古希腊人遇到了一个天大的难题：船只每天都要进港出港，然而港口处深浅不一，海底还有可能有礁石，无法确认出船只之间的距离就有可能引发严重的灾难。那么如何在海上测量距离？
测量距离如果是在陆地上那是再简单不过了，可以直接拿尺来测量，那么海上你能办到吗？泰勒斯根据他从古埃及和古巴比伦两大原生文明数千年积累出的深厚数学知识，运用相似三角形的规律解决了这个问题。而解决此问题的同时，泰勒斯和古希腊哲学家产生了一个突破：它长期必须反复的使用推测、论证、确定，而这就是逻辑证明。
逻辑证明的出现不亚于人类文明基因的一次突变，因为它意味着只要你能够给出已知的条件和设定，那么就可以推导出确定的未知的东西。历史上各大文明只有古希腊进化出了这一思维方式，古埃及、古巴比伦、古印度和古中国都没有能够进化出这种思维方式。有了这种思维方式，古希腊的数学和几何就仿佛是有了一个框架，随后的数学家们不断的为其添砖加瓦，最后在欧几里得的手上形成了系统的几何学——欧氏几何。
而即使是如欧式几何那样如此简单的几何学，在中世纪的欧洲还有一个著名的驴桥定理：也就是几何原本第一篇的前五个定理。其中的第五个原理为：等腰三角形两底角相等，就是如此简单的定理就成为了历史上最出名的“笨蛋的难关”，即为“驴桥”，能理解此定理的就算是跨过驴桥了。
而戴言在还没有搭建起整个几何学的框架时就想来证明三角形的面积公式，并且还必须要适用于所有的三角形，这让这时代的人如何能够理解？这绝对不是智力等的差距，这是两千多年文明的差距，也是认知上的差距。手机用户请浏览阅读，更优质的阅读体验。
第十二章 逻辑证明（）
戴言突然发现自己也说服不了其他人，他自己也不知该如何说服，因为在他看来理所当然的东西别人压根就理解不了，这岂不是对牛弹琴？
无奈之下，他只得说道：“既然各位不能理解，那么这样吧，我等先去量出其中一块田之广与正从如何，我还是按照方才之法做割补，各位以为如何？”
对于这个，在场众人倒是都没有异议。于是他一步步的将其中一块隔出来的三角形田延伸，使其成为了一个平行四边形，得出了此三角形田的面积大小依然是那个半广以乘正从的计算方式，得出此块田的面积大小为9亩72平步。随后他又依照同样的方法计算出了剩下的三个梯形的面积，这一次因为有了前两次所补之形都成了平行四边形的原因，理解的人稍微多了一些，随后轻易的算出了剩余三块田的面积。最后他得出了五块田的总面积为45亩25步，给乐氏子弟分为135亩15平步，而穆氏子弟则为90亩10平步。
随后他向那个寻求公平的乐氏子弟问道：“我给你分的田可称得上公平？你可服气？”
那个乐氏子弟有着宋国人特有的“轴”性格，说一就是一。他当即跪下说道：“公子之分田法委实公平，量出了确切的土地大小，而又均分为五等份，小人取其三，小人绝无半句怨言。”
戴言又看向乐、穆两家的族长，两人也都没有说什么，向戴言道别之后就离去了。
丰邑府邸内，戴言热情接待了墨家众人。
不过墨家巨子对于那些身外之物丝毫都没有放在心上，方一坐定，田鸠就向戴言发问了：“公子，我观你方才在河边所用测地与量地之法似乎是一种极为高明的学问，敢问公子可否教我？”
“巨子太过谦了，您是整个天下一流的学者，小子哪敢教先生呢。不过先生若想了解此学问，小子倒是愿意向先生解答。”戴言爽快说道。
“那就多谢公子了，我想问为何公子所说的三角形田的大小与圭田的大小计算之法竟是完全一样的？”田鸠直接发问了。
“这个问题其实倒是容易解答，因为在小子看来，圭形其实也是三角形，只不过是三角形中比较特殊的一种罢了，既然三角形的大小计算之法为半广以乘正从，那么圭形的计算之法亦同样适用，敢问先生理解否？”戴言问道。
“我就是在这一点上不能理解，公子说所有的三角形都能适应此规则，那么敢问公子何以知道呢？若是真的找到一个不适应此规则的呢？”田鸠则问道。
怎么可能不适用，这是三年级小学生都懂的公式啊，戴言在心里说道。不过他总算是发现了问题到底是出在哪里了，因为现在这时代压根还没有几何学，而几何学根本就是一个系统性的学科，单单拿一个公式出来其实压根是没有任何意义的，他决定从头开始。
于是他说道：“要解答这个问题，让我们先从头开始吧。先生先设想一个平面，这个平面是没有厚度的，而平面上有点、有线。线与线之间的关系有相交和平行。”戴言开始从最初的几何学开始为巨子讲起了。
随后他又开始讲解起了几何学的基本公设和公理，当巨子问道公设与公理有何不同时，戴言这样解答：“公设就是我所设定的初始命题；譬如说这一条：任何一条直线都可以无限延长，这就是最基本的命题。然而公理则是反复的实践检验是真实的，并且不需要由其他判断加以证明的命题和原理；譬如我所说的这一条：两点之间线段最短。先生设想一下，假如您身边有一条狗，你手上有一块肉，您把肉朝着一个方向扔出去，那么这条狗必然是直接冲过去把肉吃掉，它肯定是不会饶几圈再过去的吧？这种道理连狗都知道，又何况是人呢？”
戴言把线段公理比作为狗都能知道的道理，一时间整个大厅内众人都是大笑不已。
随后戴言又开始讲到了定理，这个其实就已经算是几何学的核心了。当他说道了那个著名的驴桥定理的时候，虽然在场众人中不乏墨家顶尖的学者，然而确实有人就是无法理解为何圭形（等腰三角形）的两个底角必然相等。这使得巨子大怒，直骂这些家伙都是笨蛋，因为在他看来，像这么简单的证明年轻的公子已经一步一步明明白白的指出来了，结果他们还是无法搞懂，这就是脑袋没不开窍啊。
随后戴言就见到了墨家残酷的一面。那些通不过“驴桥”的人，全部都被巨子罚去面壁，巨子直言：什么时候能理解了什么时候方可休息。而那些被体罚的人则全都是二话不说，立即服从。
“巨子，您这要求也太严了吧？”戴言直接就问道。
田鸠吩咐了他的随行弟子拿出一卷竹简，递给了戴言。戴言接过一看，却是墨家里的名篇：大取与小取。随后田鸠又吩咐弟子递给戴言一卷竹书，却是墨家的墨经。
“这里的大取与小取，正是在下所作，在下作此大小取，正是为辩而作也。而墨经，乃是我墨家墨子之后前辈所作，其中之义也多为与别家之辩，更为求世间之真理。然而吾从公子处学得此测地之法，发觉其中之精髓实乃公子所言之逻辑证明。逻辑证明如此简单明了，然却为世间之真理，让人辩无可辩。故有公子之逻辑证明在，吾之大小取，我墨家之墨经可尽弃矣。”田鸠带着一副悲凉的表情说道。
“巨子万万不可。”戴言连忙阻止道。开玩笑，大小取乃至墨经，那可都是中华文明的瑰宝啊。中华文明里关于逻辑的知识除了墨家也就只有名家有了，更何况他还有事想求墨家呢，哪里敢让巨子尽弃其学问？
“巨子可知，此逻辑证明虽然简单明了，然而它亦是需要文字作为支撑的。诚如巨子所言，小子先前所言之学问吾称其为几何，而逻辑则是几何的基础，目前这些学问不过仅仅是小子心里的一点想法，哪里能比得过墨家众前辈那样推衍多年之智慧呢？”戴言谦虚道。
