亚里士多德的三段论-第30章

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）

　　　　，巴黎１９０３年版，第１７页以下。

　　　　又参看杨卢卡西维茨W《论亚里士多德的三段论》（Ｏｓｙｌｏｇｉｓｔｙｃｅ

　　　　Ａｒｙｓｔｏｔｅｌｅｓａ）

　　　　，《克拉科夫科学院院刊》ｘｌｉｖ，第６号（１９３９年）

　　　　，第２０页。

……　191

　　　　３４。三段论系统的一个算术的解释A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９７１

　　　　且仅当ａ１与ｂ２之间没有公因数，并且ａ与ｂ１之间没有公因数时，前提Ｉａｂ才是真的。

　　　　如果这些条件之一没有满足，Ｉａｂ就是假的，从而ＮＩａｂ就是真的。

　　　　容易看出：我们的断定的公理１—４都是被确证的。

　　　　公理１，Ａａａ是被确证的，因为每一个数可由它自己整除。

　　　　公理２，Ｉａ是被确证的，因为已经假定，对应于ａ的两个数，ａ１与ａ２是互素的。

　　　　公理３，Ｂａｒｂａｒａ式ＣＫＡｂｃＡａｂＡａｃ也是被确证的，因为可整除的关系是传递的。

　　　　公理４，Ｄａｔｉｓｔ式ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ，也是被确证的；因为如果ｂ１可被ｃ１整除，ｂ２可被ｃ２整除，ｂ１与ａ２之间没有公因数，并且ｂ２与ａ１之间没有公因数，那么，ａ１与ｃ２之间必定没有公因数，并且ａ２与ｃ１之间必定没有公因数。

　　　　因为，如果ａ１与ｃ２有一个比１大的公因子，ａ１与ｂ２也将有这个相同的公因子，因ｂ２包含ｃ２。

　　　　但这是与ａ１与ｂ２之间没有公因数的假定相违背的。

　　　　同样，我们证明ａ２与ｃ１之间必定没有公因数。

　　　　表明公理P５９ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ必须被排斥，也是容易的。

　　　　举以下数字为例：ａ１＝１５，ｂ１＝３，ｃ１＝１２，ａ２＝１４，ｂ２＝７，ｃ２＝３５。

　　　　Ａｃｂ是真的，因为ｃ１被ｂ１整除，并且ｃ２可被ｂ２整除；Ａａｂ也是真的，因为ａ１可被ｂ１整除，并且ａ２可被ｂ２整除；但结论Ｉａｃ不是真的，因为ａ１与ｃ２不是互素的。

　　　　斯卢派斯基规则的确证较为复杂些。

　　　　我将借助实例来说明这个问题。

　　　　让我们取排斥的表达式：（P１）ＣＮＡａｂＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ与（P２）ＣＮＩｂｃＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ。

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　　　　０８１第五章　判定问题

　　　　我们用斯卢派斯基规则，

　　　　PＣＮαγ，PＣＮβγ→ＣＮαＣＮβγ，从（P１）与（P２）得到第三个排斥的表达式，（P３）ＣＮＡａｂＣＮＩｂｃＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ。

　　　　例如用以下一组数字，表达式（１）就被反驳了：ａ１＝４，ｂ１＝７，ｃ１＝３，ｄ１＝４，（４）ａ２＝９，ｂ２＝５，ｃ２＝８，ｄ２＝３。

　　　　能够很容易地证明：根据这个解释Ａａｂ是假的（因为４不能被７整除）

　　　　，从而ＮＡａｂ是真的；Ｉｃｄ是假的（因为ｃ２对于ｄ１不是互素的）

　　　　，所以ＮＩｃｄ是真的；Ｉｂｄ是真的（因为ｂ１与ｄ２，ｂ２与ｄ１两对数，彼此都是互素的）

　　　　；但是ＮＡａｄ是假的，因为Ａａｄ是真的（ａ１可被ｄ１整除，而且ａ２可被ｄ２整除）。

　　　　所有前件都是真的，后件是假的；所以表达式（１）被驳倒了。

　　　　相同的这样一组数并不反驳表达式（２）

　　　　，因为Ｉｂｃ是真的（由于ｂ１与ｃ２，及ｂ２与ｃ１两对数，彼此是互素的）

　　　　，从而ＮＩｂｃ是假的。

　　　　但如果一个蕴涵式的前件是假的，这个蕴涵式就是真的。

　　　　为了反驳表达式（２）

　　　　，我们必须取另外一组数：ａ（５）１＝９，ｂ１＝３，ｃ１＝８，ｄ１＝３，ａ２＝２，ｂ２＝２，ｃ２＝５，ｄ２＝２。

　　　　根据这个解释，表达式（２）的所有前件都是真的，而后件是假的；所以，这表达式就被反驳了。

　　　　但这第二组数并不反驳表达式（１）

　　　　，因为Ａａｂ是真的，从而ＮＡａｂ是假的，而一个假前件产生出一个真蕴涵式。

　　　　所以，（４）组与（５）组数都不能反驳表达式（３）

　　　　，它包括ＮＡａｂ以及ＮＩｂｃ。

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　　　　３４。三段论系统的一个算术的解释A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１８１

　　　　有一个一般的方法能使我们当表述式（１）与（２）被反驳后，就反驳表达式（３）。

　　　　①首先，我们写下构成反驳（１）与（２）的数组的所有素数，我们得到对于（１）的一系列数２，３，５与７，以及对于（２）的一系列数２，３与５。

　　　　其次，我们用完全不同于第一系列的素数的新的素数来代换第二系列的数，例如，以１代２，１３代３，１７代５。

　　　　这样我们就得到一组新的数：

　　　　（６）ａ１＝１３１３，ｂ１＝１３，ｃ１＝３１１１１，ｄ１＝４１３，Wａ２＝１１，ｂ２＝１１，ｃ２＝８１７，ｄ２＝３１１W这个数组也反驳（２）

　　　　，因为可整除性与互素性的关系保持着和它们在代换之前的同样情况。

　　　　第三，我们把（４）组和（６）

　　　　组中出现的对应的变项的数相乘。

　　　　这样我们就得到一个新组：ａ１３１３，ｂ１３，ｃ１１１１，ｄ１３，（７）１＝４１＝７１＝３１＝４Wａ２＝９１１，

　　　　ｂ２＝５１１，ｃ２＝８１７，

　　　　ｄ２＝３１１W这个数组反驳（３）。

　　　　因为很明显，第一，如果对于前提Ａｅｆ或Ｉｅｆ对应着数组：ｅ１，ｅ２，ｆ１，ｆ２与ｅ２互素，ｆ１与ｆ２互素，并且有另一数组ｅD１与ｅD２互素，ｆD１ｆD２与ｅD２互素，它们全都由不同于前一组数的素数组成，从而ｅ１与ｅD１的乘积（即ｅ１ｅD１）

　　　　，与ｅ２与ｅD２的乘积（即ｅ２ｅD２）必定是互素的，而且W①这个方法是由斯卢派斯基发现的。

　　　　《关于亚里士多德三段论理论的研究》第２８页—３０页。

　　　　②如果有一个变项出现于被反驳的表达式之中，但不出现在另一个之中，我们在最后的置换之后，就简单地取它的对应的数。

　　　　②

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　　　　２８１第五章　判定问题

　　　　ｆ１ｆD１与ｆ２ｆD２也必定是互素的。

　　　　其次，如果Ａｅｆ被第一组数确W证，亦即如果ｅ１可被ｆ１整除，而且ｅ２可被ｆ２整除，并且同样情况对于第二组数也是真的，使得ｅD１也被ｆD１整除，而且ｅD２也被ｆD２整除，那么，ｅ１ｅD１必定可被ｆ１ｆD１整除，ｅ２ｅD２必定可被ｆ２ｆD２整W除。

　　　　再有，如果Ｉｅｆ被第一组数确证，亦即ｅ１与ｆ２互素，而ｅ２

　　　　与ｆ１互素，并且同样情况对于第二组数也是真的，使得ｅD１与ｆD２互素，而ｅD２与ｆD１互素，那么，ｅ１ｅD１与ｆ２ｆD２必定是互素的，ｅ２WｅD２与ｆ１ｆD１必定是互素的，因为所有第二组的数对第一组的数W都是互素的。

　　　　相反地，只要可整除性或互素性这些条件之一未能满足，那么，这相关的前提必定是假的。

　　　　从我们的例子中可以看出：Ａａｄ和Ｉｂｄ都被（７）确证，因为它们都被（４）和（６）确证，并且Ｉｃｄ同时被（４）和（６）两者反驳，从而也被（７）反驳。

　　　　Ａａｂ仅被（４）反驳（但这也足以使得用（７）来反驳它了）

　　　　，并且Ｉｂｃ仅被（６）反驳（但这也足以使得用（７）来反驳它了）。

　　　　这个方法可应用于这一类的任何情况，从而斯卢派斯基规则就由莱布尼兹的解释所确证。

　　　　莱布尼兹曾经说过：科学的和哲学的争论总能够用一个演算来解决。

　　　　依我看，他的著名的“演算”似乎是与以上的三段论系统的算术解释相联系，而不是与他的关于数理逻辑的观念相联系。

　　　　３５。结束语A在亚里士多德三段论系统的历史的和系统的研究的基础上，我们所达到的结果，在许多点上都与通常的介绍不同。

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　　　　３５。结束语A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３８１

　　　　亚里士多德逻辑不仅被来自哲学方面的逻辑学家所误传，因为他们错误地把它与传统的三段论系统等同起来，而且也被来自数学方面的逻辑学家所误传。

　　　　人们可以在数理逻辑教科书中一再地读到：Ａ前提的换位定律以及从它引出的有些三段论的形式（如Ｄａｒａｐｔｉ或Ｆｅｌａｐｔｏｎ）都是错的。

　　　　这个批评是基于这个错误的概念：亚里士多德的全称肯定前提“所有ａ都是ｂ”与量化的蕴涵式“对所有ｃ而言，如果ｃ是ａ，则ｃ是ｂ”

　　　　（其中ｃ是一个单一词项）

　　　　的意思是一样的，而且特称肯定前提“有些ａ是ｂ”与量化的合取式“对于有些ｃ而言，ｃ是ａ并且ｃ是ｂ”

　　　　（其中ｃ也是一个单一词项）的意思是一样的。

　　　　一个人如果承认这样一种解释，那么，他当然能够说定律ＣＡａｂｌｂａ是错的，因为ａ可以是一个空词项，以致没有ｃ是ａ，并且上面的量化的蕴涵式成为真的（因为它的前件是假的）

　　　　，而上面的量化的合取式成为假的（因为它的因子之一是假的）。

　　　　但是所有这些都是对亚里士多德逻辑的不恰当的误解。

　　　　在《分析篇》中没有什么段落能说明这样一个解释是正确的。

　　　　亚里士多德并没有把单一词项或空词项或量项引入他的逻辑。

　　　　他把他的逻辑仅应用于普通词项，如象“人”或“动物”。

　　　　并且甚至这些词项也仅仅属于这个系统的应用，而不属于这个系统本身。

　　　　在这个系统中，我们只有带有变元的表达式（如Ａａｂ或Ｉａｂ）及其否定式。

　　　　并且这些表达式中的两个乃是原始词项而不能被定义；它们仅仅有那些由公理陈述的性质。

　　　　同样的理由，像亚里士多德的三段论系统是否是一个类的理论（ａ

　　　　ｔｈｅｏｒｙ

　　　　ｏｆ

　　　　ｃｌａｓ）这样的争论，在我看来，是没有益处的。

　　　　亚里士多德的三段论系统既不是一个类的理论也不是一

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　　　　４８１第五章　判定问题

　　　　个谓项理论；它独立于其它演绎系统而存在，有它自己的公理系统和自己本身的问题。

　　　　我曾试图陈述这个系统使之从各种外来因素中解脱出来。

　　　　我不把单一的、空的、否定的词项引入其中，因为亚里士多德未曾引进它们。

　　　　我也不引入量词；我只试图借助量词来解释有些亚里士多德的观念。

　　　　在形式证明中，我使用了演绎理论的断定命题，因为亚里士多德直观地把它们用在他的证明中，并且我使用排斥，因为亚里士多德本人排斥有些公式，而且甚至还陈述过一条排斥规则。

　　　　凡是亚里士多德的解说不完全正确的地方，我曾企图改正他的解说的缺点，例如，有些不能令人满意的使用归谬的证明，或者通过具体词项的排斥。

　　　　我所关注的是根据作者本人画定的轮廓并且符合现代形式逻辑的要求来建立亚里士多德的三段论的原来的系统。

　　　　这个系统的顶峰是判定问题的解决，而这是由斯卢派斯基的排斥规则而使之成为可能的，而且这是亚里士多德或其他逻辑学家所不知道的。

　　　　亚里士多德三段论是一个系统，其严格性甚至超过了一门数学理论的严格性，而这就是它的不朽的价值。

　　　　但是，它是一个狭小的系统，并且不能够应用于所有种类的推论，例如，数学的论证。

　　　　或许亚里士多德本人已经感到了他的系统不是适于每一种目的，因为他后来在实然三段论理论之外增加了模态三段论理论①。

　　　　这当然是逻辑的一个扩展，但也许并非是

　　　　①我认为由亚里士多德在《前分析篇》第Ⅰ卷第８—２２章所说明的模态三段论理论是后来插进去的，因为第２３章明显地是第７章的一个直接的继续。

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　　　　３５。结束语A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５８１

　　　　一个正确的方向。

　　　　斯多亚派的逻辑，命题演算的古代形式的发明者，比之亚里士多德所有的三