中华学生百科全书-第478章
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嵌的宝石数成等差级数递增；而 3 层圆锥面的宝石数却按等比级数递增；且
第一层的圆周上与圆锥面上的宝石数相等；除此之外，塔松顶上有 1 颗宝石
是独立镶上的。请问，圣诞树的宝石具体是怎样镶嵌的？
解答：假设三层圆周上的宝石数分别为 A、B、C，则：
B＝A＋m C＝A＋2m
其中 m 为等差系数。
因为第一层圆锥面上的宝石数等于圆周上的宝石数，所以可假设三层圆
锥面上的宝石数为 A、D、E，那么：
D＝nA E＝n2A
其中：n 为等比系数。
由于树顶上那颗宝石是独立的，所以：
A＋B＋C＋A＋D＋E＋1＝1034
A＋A＋m＋A＋2m＋A＋nA＋n2A＝1033
解此方程，只有一种可能：
A（ n2 ＋ n＋4） =1000
3m
= 33
根据 m、n、A 均为整数，得：
m =11
n = 2
A =100
因此，宝石的镶嵌是这样的：
塔松顶上有 1 颗宝石；
第一层圆周上 100 颗宝石，圆锥面上 100 颗宝石；
第二层圆周上 111 颗宝石，圆锥面上 200 颗宝石；
第三层圆周上 122 颗宝石，圆锥面上 400 颗宝石。
牛郎和织女
牛郎星离地球 16．5 光年，也就是以光的速度运行到地球要 16．5 光年。
织女星离地球 26．5 光年。如果牛郎和织女同时由各自的星球以最快的速度赶
到地球相会，那么牛郎要在地球上等多少年才见到织女？而见一面之后，织
女又匆匆赶回，牛郎至少又要等多少年，才又能与织女相会？
答：牛郎与织女以最快的速度赶路，充其量也就是以光速行进。因此，
牛郎比织女先到地球 10 年，牛郎需要等 10 年才见到织女。
织女匆匆赶回，如果马上又出发的话，来回需 53 年。牛郎要等 53 年才
能与织女第二次相见。如果牛郎也返回自己的星座，那么除了路上的时间不
算在内，牛郎也要坐等 20 年才能与织女第二次相聚。
百羊问题
百羊问题是出自中国古代算书《算法统宗》中的一道题。
这个问题说的是：“牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧。
有一个过路人牵着 1 只肥羊从后面跟了上来。他对牧羊人说：“你赶来的这
群羊大概有 100 只吧？”牧羊人答道：“如果这一群羊加上一倍，再加上原
来这群羊的一半，又加上原来这群羊的14 ，连你牵着的这只肥羊也算进去，
才刚好凑满 100 只。”谁能知道牧关人放牧的这群羊一共有几只？
根据题意，我们可设这群羊共有 x 只，则
x＋ x＋ x ＋ x＋1= 100
1 1
2 4
解这个方程得 x＝36，也就是牧羊人放牧的这群羊共有 36 只。
百鸡问题
中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值 5
文钱，母鸡每只值 3 文钱，而 3 只小鸡值 1 文钱。现在用 100 文钱买 100 只
鸡，问：这 100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个
求不定方程整数解的问题。解法如下：
设公鸡、母鸡、小鸡分别为 x、y、z 只，由题意得：
x＋y＋z＝100①
5x ＋ 3y＋ z = 100②
1
3
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
②×3…①得：7x＋4y＝100，因此
y = 100 7x = 25 x 7
4 4
由于 y 表示母鸡的只数，它一定是自然数，而 4 与 7 互质，因此 x 必须
是 4 的倍数。我们把它写成：x＝4k（k 是自然数），于是 y＝25…7k，代入原方
程组，可得：z＝75＋3k。把它们写在一起有：
x = 4k
y = 25…7k
z = 75＋3k
一般情况下，当 k 取不同数值时，可得到 x、y、z 的许多组值。但针对
本题的具体问题，由于 x、y、z 都是 100 以内的自然数，故 k 只能取 1、2、
3 三个值，这样方程组只有以下三组解：
x = 4 y =18 z = 78
x =8 y =11 z = 81
x =12 y = 4 z = 84
兔子问题
13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：
有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关
在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二
个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖
成多少对？
现在我们寻求兔子繁殖的规律。成熟的一对兔子用记号●表示，未成熟
的用○表示。每一对成熟的兔子经过一个月变成本身的●及新生的未成熟
○。未成熟的一对○经过一个月变成成熟的●，不过没有出生新兔，这样便
可画出下图
可以看出六个月兔子的对数是 1，2，3，5，8，13。很容易发现这个数
列的特点：即从第三项起，每一项都等于前两项之和。所以按这个规律写下
去，便可得出一年内兔子繁殖的对数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，
144，233，377。可见一年内兔子共有 377 对。
人们为了纪念斐波那契，就以他的名字命名了这个数列，该数列的每一
项称为斐波那契数。斐波那契数列有许多有趣的性质。除了 an＝an…1＋an…2外，
1 1＋2 5
n 1 5 n
还可以证明他的通项公式为an = ，公式虽然复杂，
5 2
可它的每一项却都是整数。而且这个数列中相邻两项的比值，越靠后其值越
接近 0．618。这个数列有广泛的应用，如树的年分枝数目就遵循斐波那契数
列的规律；而且计算机科学的发展，为斐波那契数列提供了新的应用场所。
鸡兔同笼
中国古代的《孙子算经》（公元 280～420 年）一书中，收集了不少算术
趣题，“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题为：今有鸡（雉）兔同笼，上有
三十五头，下有九十四足，问鸡、兔几何？
原书的解法是：设头数为a，足数为b，则b2 a是兔数，a2 a是鸡数，
b
这个方法很巧妙。可能是这样思考的：鸡兔头数和为 a，而足数之和为 b，则
有：
鸡 ＋ 兔 = a ①
2·鸡
＋4·兔 = b ②
1
这其实是一个二元一次方程组，由 ×② …①得：
2
兔 = …a，代入①得：鸡 = a…2 a。由此解得：兔 =12只，鸡 = 23只。
b b
2
我们还可以这样考虑：假设笼里全是兔子，则共有 4×35＝140 条腿，但
实际只有 94 条腿，多了 140…94＝46 条腿，这是由于把鸡假设为兔子，使每鸡
多了两条腿造成的，所以应该为：46÷（4…2）＝23（只），兔为 35…23＝12（只）。
韩信点兵
大凡著名的军事家都是精通数学的。“韩信点兵”的故事就是源出于我
国古代《孙子算经》。让我们来欣赏这位将军的智慧：
一日，韩信到前沿检阅一队士兵。这队士兵人数众多，无法一一点清，
况且兵贵神速，时间是军队的生命，不能迟迟不决。韩信立即令队伍整队，
排成每列 5 人的纵队，最后多余 1 人；接着又命令改成 6 人一列的纵队，最
后多余 5 人；然后又变换队形，变成每列 7 人的纵队，最后多余 4 人；最后，
下令排成每列 11 人的纵队，最后多余 10 人。操练完毕，韩信不仅了解了这
队士兵的军事素质，而且全队士兵的人数也在不知不觉中了如指掌了。
难道他真有神机妙算的本领吗？
这就是著名的“孙子定理”，也是驰名中外的“中国余数定理”。它是
这样分析的：
首先，求 5、6、7、11 的最小公倍数：
M＝5×6×7×11＝2310
求得 M 对于每个因数的商数：
a1 = 2310 = 462
5
2310
a2 = = 385
6
a3 = 2310 = 330
7
2310
a4 = = 210
11
以各自的商数为基础，求得余 1 的情况：
3×462 1386
= = 277Λ Λ 余1
5 5
385
= 64Λ Λ 余1
6
330
= 47Λ Λ 余1
7
210 = 19Λ Λ 余1
11
再以实际上各项的余数代进去，得到
x0＝1×3×462＋5×385＋4×330＋10×210＝6731
由此，6731 是符合题意中的各项余数的，但这并不是小的解，因为 2310
能被各项都整除，所以要减去 2310 的数。
x1＝6731…2×2310＝2111
2111 为最小的解。但由于这是解不定方程，可以有无的解，其通解的形
式应该为
x2＝2111＋2310k（其中 k＝0，1，2，……）
幻方与数阵
将 1～9 这 9 个数字填在图 A 中的九个方格里，使每一横行、每一纵列和
两个对角线上的数字之和相等。首先我们注意到 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。而
①＋②＋③＋
④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＝45，因此，①＋②＋③＝④＋⑤＋⑥＝⑦＋⑧＋⑨＝幻和，那
么应该有：幻和×3＝45，幻和＝45÷3＝15。又，①＋⑤＋⑨＋③＋⑤＋⑦＋④＋⑤＋
⑥＋②＋⑤＋⑧＝15×4＝60，也就是①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＋3×⑤＝60，所
以，45＋3×⑤＝60，⑤＝5，即
中间的数应当为 5，其他位置上的数，如果①填奇数，因为①＋⑨＝10，
所以⑨也是奇数。④、⑦同奇或同偶，当④、⑦同为奇数时，⑧和⑥也应是
奇数。因此共有 6 个奇数，又因 1～9 只有 5 个奇数，发生矛盾。当④、⑦同
偶时，⑧与⑥也应为偶数，③也应为偶数，这样共有 5 个偶数，也与 1～9
只有 4 个偶数矛盾。因此①是偶数，同理③、⑦、⑨也都是偶数。又①＋⑨＝
③＋⑦＝10，于是就得到所求解。如左图。
伐木人的争论
伊格纳托夫是前苏联著名的科普作家，他一生写下了许多题材新颖、内
容丰富、形式活泼的作品，伐木人的争论是其作品中的一道题。
尼基塔和巴维尔是两个伐木人。有一天，两人干完活正准备吃饭，迎面
走来一个猎人：“你们好啊，兄弟们！我在森林里迷了路，离村庄又远，饿
得心慌，请分给我一些吃的吧！”
“行啊，行啊，你坐下吧！尼基塔有 4 张饼，我有 7 张饼咱们在一起凑
合着吃吧。”巴维尔热情地说。尼基塔也随声附和着。于是三人平均分吃了
11 张饼。吃过饭，猎人摸出 11 个戈比，说道：“请别见怪，我身上只有这
些钱了，你俩商量着分吧！”
猎人走后，两个伐木人争论起来。尼基塔说：“我看这钱应该平分！”
巴维尔反驳说：“11 张饼的钱是 11 个戈比，正好是 1 张饼 1 个戈比，你应
得 4 个，我应得 7 个！”
他们俩的算法，谁的对呢？显然尼基塔的算法是错的，两人带的饼的数
目不同，当然分得的钱也应不同。再看巴维尔的算法：11 张饼，11 个戈比，
每张饼 1 个戈比，看起来非常合理，如果问题是“猎人用 11 个戈比买了 11
张饼”，那么巴维尔的算法的确是正确的。可问题是“3 个人平均分吃了 11
张饼，并且尼基塔和巴维尔带的饼又不一样多。”实际上，11 张饼平均分给
3个人，就是说，每人吃了11张饼。尼基塔有4张饼，自己吃了11张饼，
3 3
他给猎人吃了411= 张。而巴维尔也吃了11张，他分给猎人711= 张。
1 10
3 3 3 3 3
猎人吃了 张饼，付给11个戈比，也就是说，每次13张饼猎人付给一个
11
3
戈比。他吃了尼基塔1张饼，故尼基塔应得1戈比，他吃了巴维尔10张饼，
3 3
巴维尔应得 10 戈比，两个人的算法都错了。
36 名军官问题
设有 6 种军衔和来自 6 个团的 36 名军官，能不能把他们排成 6×6 的队
列，使得每行每列里都有每种军衔的 1 名军官和每个团的 1 名军官呢？
这是 18 世纪瑞士数学家欧拉提出的一个趣味数学问题。它在统计学，尤
其是在试验设计中有重要的影响。
为了易于说明，我们先考虑有 3 种军衔和来自 3 个团的 9 名军官。用 1、
2、3 分别表示 3 种军衔，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示 3 个不同的团，这时，相应的问题
的解答是：
1 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
3 2 3
2 1 Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
2 3 1 Ⅱ Ⅲ Ⅰ
军衔阵列 团阵列
（1；Ⅰ） （2；Ⅱ） （3；Ⅲ）
（3；Ⅱ
） （1；Ⅲ） （2；Ⅰ）
（2；Ⅲ ） （3；Ⅰ） （1；Ⅱ）
上面军衔阵列和团阵列分别是由 3 个不同符号构成的 3 行 3 列的阵列（3
×3），其中每个符号在每行与每列恰好只出现一次，我们把这种阵列叫 3
阶拉丁方。而并置阵列中 32个有序对都是不同的（即并置后，所有可能的 9
种情况都出现了），称�
