中华学生百科全书-第476章

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这块墓碑也标志着研究π的一个历史阶段的结束，欲求π的更精确的值，需
另辟途径）。
17　世纪以后，随着微积分的出现，人们便利用级数来求π值，1873　年算
至　707　位小数，1948　年算至　808　位，创分析方法计算圆周率的最高纪录。
1973　年，法国数学家纪劳德和波叶，采用　7600CDC　型电子计算机，将π
值算到　100　万位，此后不久，美国的科诺思，又将π值推进到　150　万位。1990
年美国数学家采用新的计算方法，算得π值到　4．8　亿位。
早在　1761　年，德国数学家兰伯特已证明了π是一个无理数。
将π计算到这种程度，没有太多的实用价值，但对其计算方法的研究，
却有一定的理论意义，对其他方面的数学研究有很大的启发和推动作用。

运算符号的由来

表示计算方法的符号叫做运算符号。如四则计算中的＋、…、×、÷等。
加号“＋”是加法符号，表示相加。
减号“…”是减法符号，表示相减。
“＋”与“…”这两个符号是德国数学家威特曼在　1489　年他的著作《简算
与速算》一书中首先使用的。在　1514　年被荷兰数学家赫克作为代数运算符
号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到　1630　年，才获得
大家的公认。
乘号“×”是乘法符号，表示相乘。1631　年，英国数学家奥特轩特提出
用符号“×”表示相乘。乘法是表示增加的另一种方法，所以把“＋”号斜过
来。另一个乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。
除号“÷”是除法符号，表示相除。用这个符号表示除法首先出现在瑞
士学者雷恩于　1656　年出版的一本代数书中。几年以后，该书被译成英文，才
逐渐被人们认识和接受。

关系符号

表示数与数、式与式或式与数之间的某种关系的特定符号，叫做关系符
号。有等号，大于号，小于号，约等于号，不等号等等。
等号：表示两个数或两个式或数与式相等的符号，记作“＝”，读作“等
于”。例如：3＋2＝5，读作三加二等于五。第一个使用符号“＝”表示相等的
是英国数学家雷科德。
大于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）大的符号，记作“＞”，
读作“大于”。例如：6＞5，读作六大于五。
小于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）小的符号，记作“＜”，
读作“小于”。例如：5＜6，读作五小于六。大于号和小于号是英国数学家
哈里奥特于　17　世纪首先使用的。
约等于号：表明两个数（或式）大约相等的符号，记作“≈”，读作“约
等于”。例如：π≈3．14，读作π约等于三点一四。
不等号：表示两个数（或式）不相等的符号，记作“≠”，读作“不等
于”。例如　4＋3≠9，读作四加三不等于九。

“　　　　　　”的来源


最早用“　”表示根号的，是法国数学家笛卡尔。17世纪，笛卡尔在
他的著作《几何学》一书中首先用了这种数学符号。
“　”这个符号表示两层意思：左边部分“√”是由拉丁字母“r”
演变而来的，它表示“root”即“方根”的意思；右上部的一条横线，
正如我们已经习惯的表示括号的意思，也就是对它所括的数求方根。
正因为“　”既表示方根，又表示括号，所以凡在运算中遇到“　”，


必须先做括号内的算式，然后再做其他运算。也就是说先要做根号运算。

奇妙的数字“9”

将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循
环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友——9　来帮助解决问题。我们知
道，
a
在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式：S　=　　　　　　　　　　。其中a是这个数
1…q
列的第一项，q　是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。
先观察下面两个循环小数：0．6666……＝0．6，0．242424……＝0．24。它们都是
从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它
们写成分数的和的形式：
0．666……＝0．6＋0．06＋0．006……

=　　　10　100　1000　10000＋Λ
6　　　＋　　　　　6　　＋　　　　　　6　　＋　　　　6　　　　　　　Λ

0．242424……＝0．24＋0．0024＋0．000024……

=　　　100　10000　1000000＋Λ
24　　　＋　　　　24　　　　　＋　　　　24　　　　　　　　Λ

1
这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0。6666……的公比是10　，而
1
0。242424……的公比是100。根据求和公式得：
6

0。66Λ　Λ　　　　10　　　　　　　　6　　　=　　6
1　　=
1　　　　　　　　　101　9
10
24

0。242424Λ　Λ　　　　　100　　　　　　　　24　　　　24
1　　　　=　　　　　　　=
1　　　　　　　　　　1001　99
100

由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数字化为分
子，让分母由　9　组成，循环节有几位数字，分母是几个　9　就行了。例如：
4
0。4444Λ　Λ　=　0。4　=
9
56
0。5656Λ　Λ　=　0。56　=
99

031233123Λ　Λ　=　0。3123=　　　　　　　3123　=　347
9999　1111
下面再来看看以下两个循环小数：

0。2888……　=　0。28　；　0。3545454Λ　Λ　=　0。354它们都不是从小数点后的第一


从小数点后的第一位开始循环，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：

2　　　　　　8　　　　　8　　　　　8
0。28888　=Λ　Λ　　10　100　1000　10000＋Λ
＋　　　　　＋　　　　　＋　　　　　　　　　Λ

0。35454Λ　Λ　=　　3　54　＋　　　　　　＋　　　54
10　1000　100000
1　　　　　1
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以10、100为公比的无穷递
缩等比数列。由求和公式得：
8
2　　　　　　100　　　　　2　　　　　8
0。2888Λ　Λ　=　　　　　＋　　　　　　　　=　　　＋
10　　　　　　　　1
1　　　　　　　　10　10010
100
2　　　　　8　　　　2×9＋8
=　　　　　＋　　　　=
10　90　　　　　　　　90

=　26　13
=
90　45
54
3　　　　　　　　　　　　　3　　　　　　54
0。35454Λ　Λ　=　　　　　＋　　　100　　　=　　　＋
10　　　　　　　1
1　　　　　　　10　100010
100
3　　　　　　　54　　　3×99＋　54
=　　　　　=　＋　　　　　=
10　　　　　990　　　　　　990

=　　351　　=　　　39
990　110


由此可以看出：把混循小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环
节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由　9　和　0
组成，9　的个数等于一个循环节的位数，9　的后面写　0，0　的个数等于循环部
分的位数。例如：
27　　2　25　　　　5
0。27777Λ　Λ　=　0。27　=　　　　　　=　　　　=
90　　　　90　18

0。31252525Λ　Λ　0。3125=　　3125　31　1547
=
9900　4950
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会
从特殊的问题中，善于总结出一般规律的思考方法。

神奇的“缺　8　数”

“缺　8　数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。
清一色　　菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是　8，却是　7。于是有人对
他说：“总统先生，你不是挺喜欢　7　吗？拿出你的计算器，我可以送你清一
色的　7。”接着，这人就用“缺　8　数”乘以　63，顿时，777777777　映入了马
科斯先生的眼帘。
“缺　8　数”实际上并非对　7　情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的
数都“一视同仁”的：你只要分别用　9　的倍数（9，18……直到　81）去乘它，
则　111111111，222222222……直到　999999999　都会相继出现。
三位一体　　“缺　8　数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿　3　的倍
数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：
12345679×12＝148148148
12345679×15＝185185185
12345679×57＝703703703
轮流“休息”　　当乘数不是　3　的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三
位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什
么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中
缺　3、缺　6、缺　9　的情况肯定不存在。
让我们看一下乘数在区间［10～17］　的情况，其中　12和15　因是3的倍数，
予以排除。
12345679×10＝123456790（缺　8）
12345679×11＝135802469（缺　7）
12345679×13＝160493827（缺　5）
12345679×14＝172869506（缺　4）
12345679×16＝197530864（缺　2）
12345679×17＝209876543（缺　1）
乘数在［19～26］及其他区间（区间长度等于　7）的情况与此完全类似。
乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不
能多吃多占，真是太有趣了！
一以贯之　　当乘数超过　81　时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现
象依然存在，真是“吾道一以贯之”。随便看几个例子：
（1）乘数为　9　的倍数
12345679×243＝2999999997，只要把乘积中最左边的一个数　2　加到最右
边的　7　上，仍呈现“清一色”。
（2）乘数为　3　的倍数，但不是　9　的倍数
12345679×84＝1037037036，只要把乘积中最左边的一个数　1　加到最右边
的　6　上，又可看到“三位一体”现象。
（3）乘数为　3k＋1　或　3k＋2　型
12345679×98＝1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的　2，但据上
所说，只要把乘积中最左边的数　1　加到最右边的　2　上去之后，所得数为
209876543，是“缺　1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到　1　休
息，结果与理论完全吻合。
走马灯　　冬去春来，24　个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全

不变，表现为周期性的重复。“缺　8　数”也有此种性质，但其乘数是相当奇
异的。
实际上，当乘数为　19　时，其乘积将是　234567901，像走马灯一样，原先
居第二位的数　2　却成了开路先锋。深入的研究显示，当乘数成一个公差等于
9　的算术级数时，出现“走马灯”现象。例如：
12345679×28＝345679012


12345679×37＝456790123
回文结对　　携手同行　　“缺　8　数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴
趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395
前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数吗？
（但有微小的差异，即　5　代以　4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有
之义。）
这样的“回文结对，携手并进”现象，对　13、14、22、23、31、32、40、
41　等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于　9）也应如此。例如：
12345679×67＝827160493
12345679×68＝839506172
遗传因子　　“缺　8　数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，
完全承袭上面的这些特征，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖
12345679　具有同样的本领。
例如，506172839　是“缺　8　数”与　41　的乘积，所以它是一个衍生物。
我们看到，506172839×3＝1518518517。
如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。

能被　2　和　5　整除的数

一个数的末一位数能被　2　和　5　整除，这个数就能被　2　和　5　整除。具体地
说，个位上是　0、2、4、6、8　的数，都能被　2　整除。个位上是　0　或是　5　的数，
都能被　5　整除。
例如：128、64、30　的个位分别是　8、4、0，这　3　个数都能被　2　整除。
281、165、79　的个位分别是　1、5、9，那么这　3　个数都不能被　2　整除。
在上面的　6　个数中，30　和　165　的个位分别是　0　和　5，这两个数能被　5　整
除，其他各数均不能被　5　整除。

能被　3　和　9　整除的数

一个数各个数位上的数的和能被　3　或　9　整除，这个数就能被　3　或　9　整除。
7＋4＋1＋6＝18，18　能被　3　整除，也能被　9　整除，所以　7416　能被　3　整除，
也能被　9　整除。
再如：5739　各个数位上的数之和是：
5＋7＋3＋9＝24，24　能被　3　整除，但不能被　9　整除，所以　5739　能被　3　整除，
而不能被　9　整除。

能被　4　和　25　整除的数

一个数的末两位数能被　4　或　25　整除，这个数就能被　4　或　25　整除。具体
地说，一个数的末两位数是　0，或是　4　的倍数这个数就是　4　的倍数，能被　4
整除。一个数的末两位数是　0　或是　25　的倍数，这个数就是　25　的倍数，能被
25　整除。
例如：324，4200，675，三个数中，324　的末两位数是　2424　是　4　的倍数，
所以　324　能被　4　整除。675　的末两位数是　7575　是　25　的倍数，所以　675　能被
25　整除，4200　的末两位数都是　0，所以42