数学乐旅-第6章

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2，17点或更多时，总该停住。
3，12点到16点间，如果庄家亮牌是6或更小，就该停住，不然就该要牌。唯一的例外是12点对庄家亮牌2和3点时也该要牌。另外在自己拿到16点而庄家是9、10、A，或自己拿到15点，而庄家是10点时，应该投降。

对于嫌麻烦的人，记住以上三点，就已经够了，因为这张表涵盖了大多数情况，拿到A和两张同样点数的牌的可能性不是那么大。但是如果想少输点钱，还是必须把后两张表也背下来。好在它们也很有规律，比如软13到18点对庄家6点或更小的亮牌时，可以考虑加倍，其判断梯形为：不太有把握的软13、14点只对庄家的5、6点加倍，软15、16扩展到庄家的4点，软17、18则扩展到3点。

附三　二十一点算牌法

二十一点能够算牌，是因为我们在讨论“基本策略”时提出的一个假设不成立：

假设52张牌出现的概率始终相同，也就是说每张牌都是从一个无穷多副牌组成的牌盒里抽出来的，或者说前面出过的牌不影响后面的牌，换句话说，每张牌相互之间都是独立的。

显然，不可能有这样的由无穷多副牌组成的牌盒，前面出过的牌总会影响后面的牌。在算牌法刚出现的时代，赌场仍然使用一副牌来玩二十一点，那么这个影响就更明显。比如，发牌员发出牌来，你拿到两个10（包括J、Q、K），庄家亮牌也是10，翻出底牌来还是10，那么下一轮里10出现的概率已不再是4/13，而是12/48，即1/4，略低于4/13。同样的，其他点数出现的概率也已不再是1/13，而是1/12。

象轮盘赌这类游戏，每次轮盘转出什么结果，和上一次完全没有关系。还有牌九这类游戏，每玩过一轮，就重新洗牌。这些游戏里，每把赌博之间都是互相独立的。而二十一点的各把之间，在重新洗牌之前，不是独立的。前一把出现了什么牌，会影响到下一把。因此，如果我们能记住前面出过什么牌，就能大致预测以后的赌局走势，从而调整自己的赌注，在对自己有利时下大注，在对庄家有利时下小注或不下注，就能在这个游戏里占到优势。

UCLA的数学教授爱德华·索普（Edward　Thorp）在六十年代初发明了二十一点算牌法。他注意到，如果二十一点里10出现的概率增高，对庄家是不利的，因为庄家在十六点及更低时必须要牌，10越多，就越容易爆掉，而对玩家来说，则更容易拿到BJ，赢一倍半的钱。所以他用一种“算10法（10…Count）”，计算剩下的牌中10的比例。正常情况下，这个比例应该是4/13，庄家占优势。但当前面出掉很多小牌，10的比例达到1/3时，优势就转移到玩家这边来了。

索普的运气不错，那时计算机也发明出来了，他找到IBM公司里的朋友，写了个程序来验证自己的算牌方法。那时的计算机跟今天比起来，还是速度低下、体积庞大的蠢物，足足运转了七天七夜，终于证明了这个方法是可行的。索普又自己到赌场里亲自实践，结果果然大赢特赢。

1962年他出版了《打败庄家（Beat　the　Dealer）》一书，向公众介绍了自己的算牌法。这不再是我们惯见的萝卜赌经，而是有数学基础的方法，因为它在不同的赢牌概率P（i）时下不同的赌注B（i），虽然总的胜利概率之和ΣP（i）仍然小于1/2，但只要在P（i）大时下大的B（i），P（i）小时下小的B（i），就能使总回报ΣR（i）P（i）大于ΣB（i）。

“算10法”比较难操作，需要极高的心智和注意力。好在群众的智慧是无穷的，算牌手们沿着索普指定的方向走下去，已经把算牌方法演进得越来越简单实用（索普本人在60年代后期就淡出了赌博界，带着他在赌场赢来的大笔资金，进入股票市场，运用他的数学知识，现在已成为超级巨富）。

我使用的是一种叫“高低法（High…Low）”的算牌法。在游戏过程中，我们把每一张出现的2，3，4，5，6都算＋1点，7，8，9算0点，10，J，Q，K，A算－1点，将各点相加，结果越大，就表示前面出现过的小牌越多，对玩家越有利。反过来，如果结果是个负数，就表示前面出过的大牌比小牌多，对庄家有利。

比如前面出现的牌是：

4，9，10，5，J，A，8，10，Q，2，6，K，J，7

那么点数就是4张小牌减7张大牌，是－3。当然，在游戏过程中，你不可能叫庄家把牌局暂停，让你从容加减。你必须在每张牌出来时，就在心里默算点数。比如在上面的例子里，从第一张牌出现开始，你就应该在心里默算出：

1，1，0，1，0，－1，0，－2，－3，－2，－1，－2，－3，－3

在实际运用中，还可以采取两张牌一计的技巧，因为庄家发牌时一般速度较快，这样可以方便地把很多同时出现的大牌和小牌抵消不计，提高了算牌速度，减少了可能的计算错误。比如在上面的例子里，如果两张牌一计，那就是：

1，1，－1，－2，－2，－2，－3

如果是一副牌，－3已经是很糟糕的点数了，这时应该下最小注，或者停止不玩。不过一般来说，现在的赌场都使用六到八副牌，那么在六副牌312张牌内，发出14张牌，还剩298张牌，平均每副牌的点数是（－3）×52/298＝－0。5，还算可以忍受。

显然，在每一盒牌（“盒（shoe）”是指一盒牌从开始发牌到洗牌的过程，这一盒牌里可能有六副、四副、八副或其他副数的牌）的开始，由于大部分牌还未发出，因此平均点数总是在0左右。要到牌盒里剩下的牌不多时，平均点数才可能比较显著地偏离0。所以算牌手在算牌时都会寻找合适的赌桌，一方面要找人少的桌子，因为人越少，你在单位时间内玩的次数越多，实际收益才会更逼近期望值；另一方面要找切牌少的发牌员，因为该切多少牌，赌场只有个大概的规定，具体执行还是要靠发牌员的觉悟，所以同一家赌场里，不同的发牌员切出的牌来常会差很多。

在点数变大时，该怎么提高赌注，每个算牌手都有自己的习惯和算度。贝尔实验室的J。L。Kelly推导出，在理论上，如果你占A的优势，本钱总数为R，那么最优赌注是B　=　A　*　R。

比如你有一万块钱的本钱，现在你占1％的优势，那么就应该在这把压下一百块钱。这种下注法称为Kelly法，是在理论上可以获得最大回报的方法。但在实践中，Kelly法过于冒险，只可视为下注时的上限。

斯坦福·王（Stanford　Wong）在《二十一点的秘密（Blackjack　Secrets）》里说，平均点数每高一点，可增加约0。5％的优势。他是二十一点算牌界里最有名的祖师爷级人物之一，甚至排在爱德华·索普之前，第一个进入了“二十一点名人堂（Blackjack　Hall　of　Fame）”。我第一次看到他的名字时，还以为他是个华裔，后来在电视上看到他，才发现他是个白人老头。斯坦福·王其实是他的艺名：他毕业于斯坦福大学，再加上“王”这个很有气势的东方姓氏。他对中国文化好像很感兴趣，自己创办了一家出版社，就叫“Pi　Yee”——念念看吧：什么？辟易？便宜？别数典忘祖了，人家这叫“牌艺出版社”！

按照他的说法，在0点时，庄家占0。5％的优势。到了1点，双方差不多扯平。平均点数升到2时，玩家就已经占0。5％的优势，可以提高赌注了。如果按照Kelly法，平均点数为7时，玩家占3％的优势，就得将自己全部本钱的3％投进去，显然太过冒险了。

在点数为0或负数时，玩家应当下最小赌注。当然，最好是干脆不玩，坐等点数变正。早期的那些算牌手就是这么做的，但现在的赌场里，从游弋在各桌间的桌面经理，到高悬在天花板上的监视器，都虎视耽耽地监视着每个赌徒的行为。如果总是点坏不压、点好猛压，还不如直接在脸上写五个大字：“我是算牌手”，说不定还暴露得晚些。

算牌本身并不难练，难的是和赌场的斗智斗勇。在《打败庄家》刚出版时，它轰动一时，很快成为畅销书，激励了无数赌徒涌向赌场，一试身手。赌场对此大为恐慌，有些赌场甚至关闭了二十一点赌桌。但是，很快他们就又恢复了镇定，因为他们发现，涌来的大批赌徒中，只有极少数人真正掌握了算牌法，其他大多数人只不过是一知半解、道听途说的萝卜。索普这本书为极少数人提供了打败庄家的方法，但对大多数人来说，实际效果却是个二十一点的广告，让他们自以为也能够在二十一点上赢钱。这是个赌场梦寐以求的广告，是他们自己无论花多少钱都做不来的广告。

在刚开始时，算牌还是个新鲜事物，没有这方面的法律规定，开赌场的又多是黑社会，一旦发现算牌手，一律当老千处理，痛打一顿后扔到臭水沟里。后来大家总算对算牌达成了共识：这是样技术活儿，是在遵守赌场规则的情况下，靠自己的聪明才智来赌博的一种方式；同时各大赌场也多被华尔街的金融巨头接管，开始西装领带的管理方式，摆开堂堂之阵来赚钱，于是算牌手总算不再有人身危险，但赌场既然是人家的私有财产，就有权把某些他们不欢迎的人拒之门外。因此，对一个算牌手来说，难的不是算牌，而是如何不被赌场发现。

同时，赌场也巧妙地改变了规则，比如用八副牌代替一副牌，牌发到一半时就重新洗牌，不准在一局牌的中间加入赌局等等，极大地增加了算牌的难度。他们逐渐稳住阵脚后，便大开二十一点赌桌，从此二十一点就取代了“蟹赌（Crap）”，成为赌场里最热门的游戏。但在算牌法已经发明了四十多年后的今天，我们在二十一点赌桌上见到的，仍然大多数是萝卜。

六

大西洋城的赌场里永远人山人海，而且亚裔奇多，一眼望过去，黑头发、黄皮肤出现的频率之高，仅次于春节联欢晚会里的歌词。尤其是百家乐和牌九扑克的赌区，从发牌员到赌客，清一色的亚裔，让我恍惚以为自己刚才不是开车来的，而是开的宇宙飞船，一不小心降落错了地方，到了澳门。

我第一次算牌实战时，发牌员就是个亚裔，胸牌上写着“汤姆”，生得白白胖胖，笑容可掬，声若洪钟，口若悬河，和每个赌客有一句没一句地闲扯。我初次上阵，技艺生疏，也无心和他讲话。这盒牌开始时平淡无奇，点数始终没有大变化，到快结束时，却忽然猛出了一阵小牌，点数长到6点。我估计了一下剩下的牌，大概还有两副不到，那就是略大于3的平均点数，该压40块。我手头没有25块的绿色筹码，只好压上去8个红色筹码，心中暗想：“他不会因为这把我忽然提高赌注，就开始怀疑我是算牌手吧？”

汤姆却只是继续一面发牌，一面轻松地问我：“那老摇，你是学什么专业的？”

此前我已经告诉他我是学生了，这时脑中正忙着转换点数和赌注，也来不及多想，便说：“计算机。”

“哇，”汤姆有些夸张地说，“那你一定很聪明！”

我这才反应过来，计算机专业是盛产算牌手的重灾区，名震江湖的MIT算牌团里就有好几个是学计算机的。“完了，这下他肯定要开始怀疑我了，”我后悔地想，“我该说中文系的！”口中却得应付他说：“呵呵，谢谢！”

更糟糕的是，桌面经理不知何时也已踱到我们这张桌子，插话说：“你们学校的计算机系不错呢，我有个堂兄就是那里毕业的，现在已经做到他们公司的CTO了！”

算牌手都知道，桌面经理的一个职责就是监督作弊，包括虽然不是作弊但也被赌场深恶痛绝的算牌。我还没想出来该怎么回答他，牌又已经发下来了，有大牌也有小牌，我拿了个下下牌：10和6，汤姆的亮牌却是10。

“这时按照基本策略应该要牌，按照算牌点数的修正应该……靠！现在点数是多少来着？”我这才发现刚才一紧张，已经把点数忘了，“算了，反正肯定是正数，那就应该停牌。”我把手一摆，表示不再要牌了，然后摇摇头，装作很沮丧的样子对桌面经理说：“你看，只要你一下大赌注，就必然来坏牌。”

好在我这时确实应该沮丧，所以桌面经理一点也没有怀疑，同情地说：“没关系，说不定庄家会爆掉的。”

结果庄家的底牌亮出来，是一张4。汤姆再抽出一张牌来，10点，庄家爆掉。全桌一阵欢呼。汤姆给我付完钱后，我点了点头，说：“谢谢。”扔出去一个白色的一块钱筹码。汤姆拿住它，在身边的小费筐上响亮地敲了一声，塞了进去，同时对我说：“非常感谢，先生。”

这其实是违反算牌守则的。所有的算牌书上都说，算牌的利润非常微薄，因此不能浪费辛苦挣来的钱在小费上，不但不能给发牌