数学乐旅-第5章
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附一 二十一点规则
1，游戏由玩家和庄家（即赌场的发牌员）对玩，看谁的牌面点数更靠近21点。但如果超过了21点，则称为“爆掉”，算输。其中花牌（J，Q，K）都算10点，A可以算1点，也可以算11点，看哪种情况更有利。玩家之间不做比较。
2，游戏开始时，所有玩家和庄家各拿两张牌，一般来说，是玩家两张牌牌面朝上，庄家一张牌面朝上，一张牌面朝下。
3，两张牌的点数，肯定介于2到21点之间。21点只可能是一张10（包括J，Q，K，下同）和一张A，这叫“天成（BlackJack，以下简称BJ）”，除非庄家也拿到了BJ，不然赢一倍半的赌注。
4，玩家在游戏中有如下选择：
（1）要牌，直到他（或她，下同）认为自己的牌面离21点足够近了。比如手头的牌是4和5，加起来才9点，那么无论再加张什么牌，都不会爆掉，当然应该要牌。
（2）停牌，即不再要牌，比如手头是张10和9，已经很接近21点了，就不用再要牌了。
（3）加倍，即加一倍赌注，再要且仅要一张牌。比如手头是张4和7，这时要牌是肯定安全的，而且很可能拿到10或者其他点数较大的牌，一张就够了，值得加倍。这只能在刚拿到两张牌时使用，要过牌后就不能加倍。
（4）分牌，即拿到两张点数相同的牌时，可以加一份赌注，把牌分为两份，比如手头是两张8，加起来是16，非常糟糕的点数，这时就应该把牌分为两个8，再要两张牌来，很可能拿到10形成18点，就把坏牌变成好牌了。
（5）保险，即在庄家亮着的牌是A时，由于他拿到BJ的几率很大，玩家可以下赌注一半的保险。如果庄家没有拿到BJ，保险金就输掉了，如果庄家拿到了BJ，付给玩家两倍保险金。很多玩家在自己拿到BJ的情况下，会下赌注一半的保险，以保证自己能赢回一倍赌注，因为如果庄家没有BJ，那他能赢赌注的一倍半，去掉输掉的半倍保险，还赢一倍赌注；如果庄家有BJ，那他们牌面打平，但保险能赚回一倍赌注。
（6）投降，这时只输一半赌注。如果自己的牌是10和6，庄家亮着的牌是A，那还是趁早投降好。
5，庄家在手头的牌是A时，会问大家是否要保险，然后检查自己的牌是否BJ。如果手头的牌是10，也会检查是否BJ，但这时玩家就不能买保险了。
6，如果玩家要牌爆掉，算输，庄家当场收掉他的赌注。
7，当所有的玩家都做出选择后，庄家的玩法是固定的：亮出底牌，如果点数不到17点，则必须要牌，直到超过了16点或爆掉为止。
6，如果双方都还没有爆掉，则更接近21点的那个胜，如果双方点数相同，则算打平。
在这些基本规则之上，各地的赌场还会有些变动，比如有的赌场在软17点（A算11点时的点数称为“软”，比如A和6，就是软17点）时停下，有的则必须继续要；有的赌场连续分牌最多只能有四次，有的可以无限分下去；有的A分牌只能一次；有的赌场分牌后不许加倍；有的赌场不许投降；等等等等。
还有些变种的二十一点游戏，比如“双亮（Double Exposure）二十一点”，就是庄家的两张底牌都亮着，但如果双方点数相同，算庄家赢。又如带大小鬼（Joker）的二十一点，庄家拿到鬼牌得扔掉，玩家拿到鬼牌却可以指定它的点数，比如凑成11点，或者当A用等等。
续五
“基本策略”的内容可见附二，没有任何神秘之处，任何一个懂概率论和计算机语言的人都可以写个程序，把它推导模拟出来。如前所言，背会它的难度在元素周期表之上，政治课教条之下。掌握了基本策略，可在典型规则下把庄家优势减到0。5％。
有了基本策略，我再到大西洋城去试手时，就从游击战升级到阵地战，不再玩一把就跑，而是坐下来和庄家周旋到底。一开始我还有些紧张，使出大学里对付政治考试的必备招数：把基本策略表塞在裤袋里，玩不了几手就借口上厕所，掏出表来仔细对照一番。——后来我在赌场看见一个老太太，堂而皇之地把基本策略表放在手边，发牌后就拿手指颤巍巍地在表上游走，找到对应的那一格，然后抬头转告发牌员。赌场的工作人员或熟视无睹，或和她开些无伤大雅的玩笑。其他人有不确定的地方也问老太太，老太太这时就特自豪地查找一番，然后摆出副权威的样子说：“你该要牌！”我才恍然自己当初太做贼心虚了。
当然，我们大学里也有些监考老师对在政治考试里的作弊睁一只眼闭一只眼，但赌场允许人们用基本策略，并不是同样地出于天良未泯，而是精确地计算出了，就算你用基本策略玩，优势仍然在庄家那边。
不过对于庄家这0。5％的优势，我也实在没什么要抱怨的了。假设一小时玩一百手，每手压十块钱，平均下来，一小时也就输五块钱——坐在富丽堂皇的赌场里，享受着工作人员笑容可掬的服务、穿着高叉低胸的女侍们提供的免费酒水，以及赌博带来的精神刺激，每小时才付五块钱，难道不是很合算的买卖吗？一场两小时的电影还要十块钱呢，有几部电影能象赌博那么刺激？
更妙的是，感谢众多“萝卜”的存在，赌场认为平均每个顾客在二十一点上会输得远多于0。5％，于是会返回一定的“谢礼（p，plimentary的简称）”给顾客，比如餐券、戏票、旅馆房间等。我经常玩了四个小时下来，只输了二十块钱，但赌场会按照你输两百块钱的标准来给你谢礼，比如一张价值十元的餐券。那就相当于我只花十块钱，就在赌场里玩了半天。
而且基本策略也可以用来挣钱，那就是赚网络赌场的红利。网络赌场的成本远低于现实赌场，他们不需要起豪华高楼，不需要买设备器具，不需要雇人，也不需要白送酒水，因此一进入网络时代，网络赌场就如雨后春笋般，争先恐后地冒出在广阔无垠的网络沃土。为了竞争客源，每家网络赌场都会推出五花八门的优惠，其中最普及的一种是，新会员加入时，可以得到一笔红利作为奖励。数额因赌场而异，一般在50到200美元之间。
当然，这笔钱不会让你白白拿到，赌场规定，要在他们那里累计下注到一定数目，比如二十倍，才可以把那笔红利提出来。他们的如意算盘是，一般赌客每把平均会输5％，累计下二十倍的注，也就把白送的红利已经输回来了。这相当于用玩家自己的钱把他们吸引过来成为顾客。反正他们的成本不过是一台服务器、一套软件、一点带宽，最适合薄利多销。
显然，一个懂基本策略的人马上就会发现其中的漏洞：如果运用基本策略玩二十一点，只输0。5％，赌二十倍下来，才输10％，那就能白赚到90％的红利。——当然这么做的人只是少数，网络赌场的大多数顾客还是萝卜，使赌场仍然大赚特赚，乐此不疲地推出各种红利来，让我们这些“获利玩家（Advantage Player）”能一家家赌场挨个揩油。
赌场对我们自然也有防范措施，比如常规定红利不准取出，只能在赌场里赌掉。这种红利，在网络赌徒圈里有个浑名，叫“粘利（Sticky）”。不过人民群众自然也有对付它的办法：把剩下的红利拿到轮盘上去赌一把，输了就算了，赢了的话把多出的那部分取出，剩下的再拿去赌，这样能拿回的期望值是：
a ＋ a^2 ＋ a^3 ＋ …… ＝ a/（1…a）
其中a为每把赢的概率，是一个略小于1/2的常数，那么上式也就趋向于略小于1。
另一个有趣的规定是：一般人只要累计下注二十倍就可以取出红利了，但来自中国大陆的玩家则需要累计下到二百倍。看来国内同胞早已威震网络赌场界、横扫抢红包，吓得赌场都要专门把他们列为高危人群，让我觉得如果我不在网络赌场里赢上一把，简直要愧为中国人了。
于是我带着崇高的国家荣誉感，集中玩了一批网络赌场，三个月下来，也赚了有三千多块钱。然后我就对网络赌场失去了兴趣，因为比较好的赌场我都差不多玩遍了，但更重要的原因是，我已经逐步掌握了算牌的方法，揩网络赌场油与算牌所能带来的刺激和成就感比起来，便如河水之于沧海，完全不值一提。
二十一点算牌法的原理，可见附三。我趁着放寒假，练了两个星期的“高低算牌法”，到快开学前的那个星期，租了一辆车，揣着网络赌场揩来的3600美元，直奔大西洋城而去。
附二 二十一点基本策略
规则为：庄家在软17点时停止、无限分牌加倍、允许投降。
为了方便分析，我们先假设52张牌出现的概率始终相同，也就是说每张牌都是从一个无穷多副牌组成的牌盒里抽出来的，或者说前面出过的牌不影响后面的牌，换句话说，每张牌相互之间都是独立的。
首先，一个明显的结论是，每个点数出现的概率都是1/13，除了10出现的概率是4/13。这样，如果庄家的亮牌是A，他实际拿到BJ的可能性是4/13，拿不到的可能性是9/13。玩家投保险，保中了的回报是双倍保险金，没中的话输掉保险金，因此总预期收益是：
4/13 * 2 ＋ 9 * 1/13 * （…1） = －1/13
也就是说，从概率上讲，投保险是得不偿失的，平均13次保险中，赢4次，输9次，庄家占7。7％的优势。所以，永远不要买保险。
在二十一点中，玩家最大的劣势来自于，如果玩家的牌爆掉的话，赌注当场输掉，哪怕庄家随后也爆掉。因此，如果玩家模仿庄家的玩法：16点或以下要牌，17点或以上停住，必输无疑。
为此赌场在游戏里加入了各种功能：分牌、加倍、投降、玩家拿了BJ后赢一倍半，以吸引赌客。如果用正确的玩法，可以把庄家的优势缩小到0。5％。这就是所谓“基本策略”。
在上述规则下，基本策略为：
庄家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家点数
=17 S S S S S S S S S S
其中H表示“要牌（Hit）”，S表示“停牌（Stand）”，D表示“加倍（Double down）”，R表示“投降（suRrender）”。
以上的点数都是所谓“硬点数”，即不包括A或A算1点，以后如果不特别指明，各点都指“硬点数”。手中有A，而且A算11也不会爆掉，就是所谓“软点数”，（小说下载网…。。）应该运用下面这个表格：
庄家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家
13 H H H D D H H H H H
14 H H H D D H H H H H
15 H H D D D H H H H H
16 H H D D D H H H H H
17 H D D D D H H H H H
18 S DS DS DS DS S S H H H
》=19 S S S S S S S S S S
“D”和“DS”都表示加倍，在不可以加倍的情况下，“D”表示要牌，“DS”表示停牌。
最后是分牌策略：
庄家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家
A；A P P P P P P P P P P
2；2 H H P P P P H H H H
3；3 H H P P P P H H H H
4；4 H H H P P H H H H H
5；5 D D D D D D D D H H
6；6 H P P P P H H H H H
7；7 P P P P P P H H H H
8；8 P P P P P P P P P P
9；9 P P P P P S P P S S
10；10 S S S S S S S S S S
其中P表示“分牌（sPlit）”。
这三张表并不难背，因为里面有许多规律，最显著的就是有个分界线，横亘于庄家亮牌是6点和7点之间。6点以下是庄家的坏牌，比较容易爆掉，对玩家有利，7点以上则对玩家不太利。我写了个小程序，算了下庄家的各个亮牌所可能导致的最终结果的百分比：
亮牌 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
17： 13。9 13。5 13。0 12。5 16。8 37。0 12。9 12。0 11。1 13。0
18： 13。4 12。9 12。5 12。1 10。9 13。9 35。9 12。0 11。1 13。1
19： 12。8 12。4 12。0 11。6 10。3 8。0 12。9 35。1 11。1 13。1
20： 12。1 11。8 11。4 11。0 9。9 7。6 7。0 12。0 34。3 13。1
21： 11。4 11。2 10。8 10。5 9。4 7。0 6。6 6。1 11。2 36。2
爆掉： 36。4 38。3 40。3 42。2 42。8 26。4 24。6 22。8 21。2 11。5
由此再来看基本策略，就很好理解，也很好背了：
1，11点或更小时，总可以要牌，如果9点时庄家亮牌是3到6，10或11点时庄家亮牌比自己差，还可以加倍。
2，17点或更多时，总该停住。
3，12点到16点间，如果庄家亮牌是6或更小，就该停住，不然就该要牌。唯一的例外是12点对庄家亮牌2和3点时也该要牌。另外在自己拿
